《数学分析与复变函数》毕业论文答辩PPT 10页

'数学分析与复变函数的异同指导老师：***学生：*** 概要1、课题的来源和意义2、数学分析的特点3、复变函数的特点4、数学分析和复变函数的比较5、总结 1、课题的来源和意义数学分析是数学专业最重要的一门基础课，是几乎所有后继课程的基础，在培养具有良好素养的数学及其应用人才方面起着特别重要的作用。复变函数不仅是我们所学实变函数微积分《数学分析》的理论推广，而且作为一种强有力的工具，已经被广泛地应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制理论等，目前还被广泛应用于信号处理、电子工程、智能计算等领域。对数学分析和复变函数作一个比较是非常有必要的。 2、数学分析的特点数学分析作为数学专业的必修课程之一，基本内容是微积分，还涵盖了极限和级数的理论。数学分析的基础是实数理论。实数系最重要的特征是连续性，有了实数的连续性，才能讨论极限，连续，微分和积分。正是在讨论函数的各种极限运算的合法性的过程中，人们逐渐建立起严密的数学分析理论体系。 3、复变函数的特点复变函数是以复数作为自变量的函数。复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。复数的一般形式是：a+bi,其中i是虚数单位。复变函数主要包括复变函数的极限与连续性、复函数的积分理论、级数理论、留数理论及其应用、保形映射与解析延拓等。 4、数学分析和复变函数的比较数学分析与复变函数的相同点二者的定义相同，都是由一个对应法则从一个区域到另一个区域映射；实数域上的函数与复变函数在进行加、减、乘、除及复合时具有相同的性质；都具的基本初等函数，如指数函数，对数函数，幂函数等；二者都具有极限和连续性，对数学分析中的一些比较重要的定理，如维尔斯特拉斯定理，区间套定理，有限覆盖定理在复数集也成立；二者都具有积分，并且积分定义形式类似，都可用类似黎曼积分定义的形式来表述，在此就不详细说明了，实函数与复变函数中积分都有相同的运算法则；二者都有数项级数和函数项级数，并且结构类似，函数项级数的收敛性都可用柯西一致收敛原理，魏尔斯特拉斯判别法来判断，函数都可以有泰勒展式，并且形式一致。 数学分析与复变函数的不同点数学分析和复变函数研究的是定义在数域上的函数，数学分析研究实数上的函数，复变函数研究复数领域的函数。由于定义域的不同，而导致了数学分析和复变函数有很多的差异。1.极限复变函数研究定义域上自变量趋近于其一个聚点的极限，数学分析中可研究自变量趋近于某一点的极限，也可研究趋近于无穷大的极限，也可以研究单侧极限，研究范围比复变函数要广。2.求导与微分数学分析中求导与求微分是非常重要的一部分，可以算作是积分学的逆运算，在现实生活中有举足轻重的作用，而复变函数中虽提到导数与微分，但并未展开来讲。数学分析中的微分学提出了微分中值定理，函数的升降、凸性及极值理论，还提出了待定型求极限的方法。 3.洛朗展式复变函数中除了泰勒展式，还提出了洛朗展式，即圆环内解析函数的一种级数展式，形如，这里是复常数，而数学分析中没有这种形式。4.留数留数是复变函数里复变函数中特有的概念，定义如下：设函数在区域内解析。选取r，使0