《通信原理》培训PPT课件(第二章).ppt 106页

'第二章信号与噪声一、信号与噪声二、分析方法①时域分析②频域分析三、分析工具：①确知信号——傅里叶分析的方法；②随机信号——随机过程的理论来描述。①信号：确知信号和随机信号。②噪声：具有随机性 就称其为周期性信号。其中n＝0，1，2，…，T为信号周期。2．1信号的频谱分析确知信号：表征信号的所有参数都是确定的。（周期信号、非周期信号）2．1．1傅里叶级数一、周期信号如果一个信号f(t)满足如下关系（2.1） 二、周期信号的频谱——傅立叶级数任何一个周期函数f(t)，只要它满足狄里赫利条件，都可用傅里叶级数表示，即指数型傅里叶级数其中：f0称为信号的基频，nf0、nω0称为n次谐波频率。 其中：——f(t)的平均值，即直流分量。（2-3）f0称为信号的基频，nf0、nω0称为n次谐波频率。当n=0时：傅里叶系数Fn反映了信号中各次谐波的幅度值和相位值，因此Fn称为信号的频谱。 Fn*(复共轭）的表示形式是：若f(t)是实信号，则有 小结：周期信号的频谱Fn是离散的，由间隔为f0(ω0)的谱线组成，且对于物理可实现的信号，幅度谱是偶对称的（关于纵轴对称），相位谱是奇对称的（关于原点对称）。|Fn|——幅度谱——相位谱 解：在一个周期内，f(t)可表示为：[例2—1]幅度为A，宽度为τ，周期为T的矩形脉冲序列如图2．1(a)所示，将其用指数傅里叶级数展开。 利用式(2．6)，并令ω0＝2л／T，有：式中利用了Sa(x)＝sinx／x的形式。 τ／T＝1／5的幅度频谱图为：（ω0的整数倍的离散谱线） 一般来说，Fn是一个复数，由Fn确定周期信号f(t)的第n次谐波分量的幅度，它与频率之间的关系图形称为信号的幅度频谱。因为它不连续，仅存在于ω0的整数倍处，故将这种频谱叫离散频谱。可见：给定周期信号f(t)，可以利用傅立叶分解的方法确定它的频谱；反之，利用式(2-2)也可以求出它所对应的信号。三、重要结论在时间域中，作为时间的函数定义f(t)；在频率域中，按照它的频谱确定此信号。我们可以用这两种彼此等价的关系确定一个周期性信号。 2．1．2傅里叶变换一、非周期信号非周期性信号可看做是周期T→∞时的周期性信号。考虑图2．2(a)所示的函数f(t)，由其构造一个周期性fT(t)，其周期为T，如图2．2(b)所示。显然，当T→∞时，fT(t)的极限就是f(t)，即 Fn表示频率为nω0的分量的振幅。当T增大时，基频ω0变小（nω0变小），频谱变密。当T→∞时，频谱将存在于每一个ω值处，它不再是ω的离散函数，而是ω的连续函数了。二、非周期信号的傅立叶分解由式(2．4)和式(2．6)知式中，ω0＝2л／T 和这就是在整个区间(－∞＜t＜∞)内由指数函数来表示非周期函数的表达式。也既有如下关系式： 因此，信号既可以用时间函数f(t)来描述，也可以用它的频谱F(ω)来描述。三、重要结论把F(ω)叫做f(t)的频谱密度函数，或简称频谱。信号f(t)与其频谱F(ω)之间是一一对应的关系。傅里叶变换（正、反变换）提供了信号在频率域和时间域之间的相互变换关系。 解：利用式(2．16)四、举例[例2－2]：试求图2．3(a)所示矩形脉冲的频谱。 [例2—3]：求图2．4(a)所示信号的傅里叶变换。(a)函数(b)函数的频谱图2.4冲激函数及其频谱 单位冲激函数的筛选性质或抽样性质解：（一）δ(t)函数——单位冲激函数或狄拉克函数意义：除了在t＝0处不为0外，其他处皆为0，且在t＝0处为无限大，但其面积为1，即性质：设f(t)是一个在t=0处连续的任意时间函数，由δ(t)的定义，f(t)与δ(t)乘积的积分 显然还可写出（二）δ(t)的傅里叶变换δ(ω)根据傅里叶变换的定义 周期为T的周期信号f（t），其瞬时功率等于∣f（t）∣2，在周期T内的平均功率2．1．3功率谱密度和能量谱密度一、功率信号（周期的、时间无限信号）1、功率信号周期信号(能量无限,平均功率为有限值)——功率信号。2、功率信号的平均功率平均功率：单位电阻上所消耗的平均功率（简称功率） 交换积分号和求和号的次序由于式中，f*(t)为f(t)的复数共轭值，于是 因此一个周期信号的归一化平均功率等于信号所有谐波分量幅度的平方之和，即总功率等于各个频率分量单独贡献出的功率之和。３、重要结论（帕什瓦尔功率定理）： 假设时间无限信号f(t)，若用fT(t)代表f(t)在–T／2＜t＜T／2区间上的截短函数，如图2．5所示，则二、非周期的、时间无限信号的功率谱密度 根据平均功率的定义只要T为有限值，fT(t)就具有有限的能量，即若则有： 定义功率密度谱(或功率谱密度)，用符号Sf(ω)表示（单位为W／Hz)即：信号的平均功率对于实信号，Sf(－ω)＝Sf(ω)，Sf(ω)是个偶函数，于是故，Sf(ω)——代表功率沿频率轴的分布。 能量信号f(t)的归一化能量(简称能量)定义为由电压f(t)加于单位电阻(或电流f(t)通过单位电阻)所耗散的能量。所以能量三、能量信号（时间有限信号）1、能量信号对于一个有界的、持续时间有限的信号，信号能量为有限值，全部时间的平均功率为零。这种信号叫做能量信号。2、能量信号的能量谱密度 对于实函数f(t)设能量信号f(t)的频谱为F(ω)，则交换积分次序 此式表明，信号的能量等于ξ(ω)曲线下的总面积。故ξ(ω)是能量密度的测度,单位为J/Hz，它代表信号能量沿频率轴的分布状况。可得瑞利(Reyleig)能量定理。定义能量密度谱(或能量谱密度)：因此能量 实波形ξ(ω)是ω的偶函数，因此 信号的性质可以从时域和频域两个不同的角度来描述。小结：信号的频域性质，即频率特性，由其各个频率分量的分布表示，可以用频谱、频谱密度、能量谱密度和功率谱密度来描述，通过运用傅里叶级数和傅里叶变换来实现。信号的时域特性主要由自相关函数和互相关函数来描述。 为f1(t)和f2(t)的卷积。2．2卷积和相关2．2．1卷积一、卷积积分它表述对两个(或多个)函数之积进行变换的运算法则。给定两个函数f1(t)和f2(t)，定义： （1）交换律二、图解说明（自学）三、卷积的代数定律（3）结合律（2）分配律 将式(2．43)推广可得如下等式四、包含冲激函数的卷积函数f(t)和单位冲激函数δ(t)的卷积得出函数f(t)本身，即 则五、卷积定理（1）时间卷积定理若 结论：卷积定理表明：时域中两函数的卷积等效于在领域中它们频谱的乘积，而在时域中两个函数的乘积等效于在领域中它们频谱的卷积。（2）频率卷积定理若则 1、互相关：如果f1(t)和f2(t)不同，则式(2．49)是互相关积分。2、自相关：如果f1(t)和f2(t)相同，则它就是自相关积分.2．2相关一、相关相关函数是衡量波形之间关联或相似程度的一个函数。表示两个信号之间或同一个信号相隔时间τ的相互关系。设两个信号f1(t)和f2(t)，定义相关积分为： 它表明周期信号的相关函数是在整个周期内取时间的平均值。3、周期信号的相关函数：若f1(t)和f2(t)为两个周期信号，且它们的周期皆为T，则相关函数定义为 或者4、互相关之间的关系在式(2．49)中信号f2(t)向左移动τ，由此用同样方法可以写出 可见，相关和卷积不同，相关一般是不可以交换的，即：R12（τ）≠R21（τ）R12(τ)和R21(τ)的关系是对于实函数有： 则三、相关定理(1)时域相关定理和若 对于功率信号，可以得到与上面相似的结果。结论2：功率信号的自相函数与其功率谱互为傅里叶变换。即：由式(2．58)与式(2．26)便知，∣F(ω)∣2正是信号的能量谱密度。因此可得结论1：能量信号的自相关函数与其能量谱互为傅里叶变换。即： 和式(2．57)、(2．58)相似，在频域中相关表示式为：(2)频域相关定理： （3）当τ＝0时四、互相关函数的性质(1)若对所有τ，有R12(τ)=0，则两个信号互不相关(2)互相关函数和两个信号相乘的前后次序有关，即有：R12(0)表示f1(t)和f2(t)在无时差的相关性。R12(0)越大，说明f1(t)和f2(t)的相关性越大，也即f1(t)和f2(t)之间越相似。 因为当τ增大时，信号和其时延后的波形之间相似性要降低，而当τ＝0时，信号波形重叠，当然此时相关性应最好，故R(0)应为最大。五、自相关函数的性质(3)R(0)是能量信号的能量，即(2)对所有τ有(1)自相关函数是τ的偶函数，即或非周期的功率信号的功率，即 2.3信号通过线性系统的传输可将信号f(t)表示为冲激函数的连续和。冲激响应h(t)的定义：将一个冲激加到系统的输入端时系统的输出。则有又：则： 输入信号的频谱是F（ω），而相应输出信号的频谱是F（ω）H（ω），由此可见，系统改变了输入信号的频谱特性。因此，系统的功能类似于一个滤波器。 2.4随机信号分析2.1.1随机过程的概念一、随机过程1、随机函数x(t)：随机起伏的时间函数。2、随机过程X(t)：是一类随时间作随机变化的过程，具有不可预知性，不能用确切的时间函数来描述。定义2：随机过程是定义为依赖于时间参数的一族随机变量。定义1：无穷个随机函数的总体。 注意：随机过程和随机变量的不同之处在于：随机变量的样本空间是一个实数的集合，而随机过程的样本空间是一个时间函数的集合。应该说随机过程兼有随机变量和时间函数的特点。4、随机序列如果时间是离散的，则这种随机过程叫做随机序列。3、随机过程的两个基本属性：①X(t)是一个时间函数②给定任意时刻t1，X(t1)的值不确定，是一个随机变量。 通信过程中的随机信号和噪声均可归纳为依赖于时间参数的随机过程。例:随相信号，,其中A、为常数，为在上均匀分布的随机变量。当初相时，为时间的函数,是的一个样本。二、随机信号 当初相时，可得与之对应的一系列样本,而所有样本的集合构成一个随机过程。另一方面，对某一时刻，是一个随机变量，同样时刻上可得到相应的随机变量,这些依赖于时间的随机变量同样描述了随相信号。 2.4.2随机过程的统计描述一、随机过程的分布函数和概率密度函数1、一维分布随机过程X(t)，在任意给定的时刻t1，其取值为一随机变量X(t1)，则X(t1)小于或等于某一数值x1的概率称为随机过程X(t)的一维分布函数。若存在则称其为X(t)的一维概率密度函数。 定义为随机过程X(t)的n维分布函数。2、多维（n维）分布若存在则称其为X(t)的n维概率密度函数 二、随机过程的数字特征（统计平均、时间平均）1、统计平均（记做E[·]）①均值（数学期望）②均方值是时间函数，它表示所有样本函数的统计平均函数。的所有样本函数都围绕着变化.在实际运用中，往往不易或不需求出分布函数或概率密度，而是用数字特征来描述随机过程的主要特征。 ③方差可见方差是的函数,它描述随机过程在任意瞬间对于均值的偏离程度. 则称他们是不相关的（正交的），否则就是相关的。④相关函数随机过程X(t)的自相关函数（简称相关函数），反映了随机过程两个不同观测时刻取值的关联程度。若随机过程变化平缓，则R（τ）值较大，反之较小。当τ＝0时对于两个联合平稳且各自平稳的随机过程X（t）、Y(t)，他们的互相关函数定义为：若： 2、时间平均（记做A[·]）①平均值（直流分量）②均方值（总平均功率）③方差（交流功率） 当τ＝0时④自相关函数 三、平稳随机过程1、平稳随机过程广义平稳随机过程：均值与时间无关，自相关函数仅与τ有关。在实际应用中，特别在通信中所遇到的过程大多属于或很接近平稳随机过程；平稳随机过程可以用它的一维、二维统计特征很好地描述。平稳随机过程是一类应用非常广泛的随机过程，在通信领域中占有及其重要地位。 2、平稳随机过程的各态遍历性“各态历经”的含义：指这种随机过程的任一样本函数都经历了随机过程所有可能的状态。因此，对它的任何一个样本函数取时间平均值就相当于同时对所有的样本函数取统计平均。平稳过程的各态历经性将“统计平均”化为“时间平均”,从而使分析和测量大为简化。即：统计平均与时间平均对应相等——各态历经。如果平稳随机过程有下式成立：注意：具有各态历经的随机过程一定是平稳过程。反之不一定成立。 例[2－4]设随机过程式中，A和ω0均为常数；θ是一个随机变量，它在0≤θ≤2π范围内均匀分布，即试证明X(t)是广义平稳随机过程。解：X(t)的均值 自相关函数由于E[X(t)]是个常数(零值)，与时间t无关，而自相关函数只与时间差τ有关，故X(t)是广义平稳随机过程。 3、平稳随机过程自相关函数的性质设X(t)为实平稳随机过程，则它的自相关函数具有如下性质：（1）X(t)的平均功率：（2）τ的偶函数：（3）R（τ）的上界：（4）X（t)的直流功率：（5）方差，X（t)的交流功率： 2.5随机过程的频谱分析（随机信号属于功率信号）2.5.1功率谱结论:即使随机过程X(t)的傅里叶变换不存在，而它的功率谱仍然可能存在。这样，就可能用功率谱的概念来描述随机过程的频谱特性。功率谱密度是从频域角度描述平稳随机过程统计特性的重要特征。确知信号功率谱的定义式：随机过程功率谱的定义式： 2.5.2功率谱与相关函数的关系与确知信号一样，一个平稳随机过程的自相关函数和它的功率谱是一对傅立叶变换。维纳－欣钦定理: 维纳—欣钦定理是联系频率域和时城两种分析方法的基本关系式。它给出了计算随机过程功率谱的方法。又有:--------平均功率 【例2—5】已知平稳随机过程的自相关函数求该平稳随机过程的功率谱。解：由式(2．106)，其功率谱 【例2—6】已知随机过程的功率谱如图2．12(a)所示，试求其自相关函数 解：功率谱利用附录B中变换对9和附录A中傅里叶变换的频移特性3，得如图2．12(b)所示，它相当于宽带噪声通过理想带通滤波器的情况。 随机过程归一化平均功率的几种求法： 2.6随机过程通过线性系统设输入和输出随机过程分别是X(t)和Y(t),线性系统的冲击响应为h(t)。随机过程通过线性系统 一、均值二、相关函数因此若X(t)为广义平稳过程，则Y(t)也必定是个广义平稳过程。 三、平均功率四、功率谱该结果表明，输出功率谱是输入功率谱和的乘积。 2.7.1噪声类型噪声：随机干扰信号一、加性噪声2.7噪声及其通过乘法器二、乘性噪声外部噪声：大气噪声、宇宙噪声、人为噪声内部噪声：散粒噪声、渡越时间噪声、热噪声噪声的大小最终将决定系统的性能。 2.7.2白噪声一、白噪声功率谱在全频域（－∞，＋∞）是常数。(类似白光的频谱特性。)二、白噪声功率谱及其相关函数 如图2．14所示。由于只在处有值，而所有处，所以白噪声随机过程的任何两个不同的样本函数之间都是不相关的。(a)功率谱(b)自相关函数白噪声功率谱及其自相关函数 电路噪声是最接近白噪声的例子。电路噪声瞬时振幅的概率密度为高斯分布，因此常称之为高斯型白噪声。三、白噪声的条件1、噪声频谱比所研究的通信系统带宽宽得多2、功率谱在该通信系统所占带宽内接近常数四、常见的白噪声 (1)具有平坦功率谱。(2)是一个完全不相关的过程。五、高斯白噪声的特点(3)噪声振幅的概率分布为高斯分布。 高斯分布也叫正态分布，其一维概率密度：高斯分布的概率密度函数曲线 六、误差函数在数字通信系统的抗噪声性能分析中，有时需要计算高斯随机变量ξ小于或等于某一取值x的概率P（ξ≤x)。就等于概率密度函数f(x)的积分。即：这个积分无法用闭合形式计算，通常采用数学手册上有数值和曲线可查的特殊函数来表示它。------------误差函数或互补误差函数。 误差函数误差函数是递增函数：且互补误差函数互补误差函数是递减函数：且当x≥1时，有 利用误差函数，可将F(x)表示为用误差函数表示F(x)的好处是便于数值计算，且他简明的特性有助于分析通信系统的抗噪声性能。 白噪声通过带限系统（低通滤波器）乘法器（调制/解调器）窄带系统（带通滤波器） 2．7．3乘法器的噪声响应（白噪声通过乘法器）问题：当乘法器输入为广义平稳随机过程时,输出响应是否平稳？其是怎样的？通信系统中常用的线性调制器和相干解调器都是乘法器，乘法器是非线性网络。 思路：先求出输出过程的，再由求出。由自相关函数定义得与t有关，输出不是平稳随机过程 定义非平稳随机过程的功率谱为其中故重要结论:平稳随机过程通过乘法器后将功率谱搬移到处，且其幅度减小到。 可见，通过乘法器后将功率谱SX(ω)搬移到土ω0处，且其幅度减小到1／4。(a)输入功率谱(b)输出功率谱平稳随机过程通过乘法器的功率谱 2．7．4窄带噪声(白噪声通过带通滤波器)窄带系统是指带宽W远远小于其中心频率ω0的系统。即W<<ωo,且ωo>>0的系统。一、窄带系统随机过程通过窄带系统的输出,即为窄带过程。大多数通信系统都是窄带的，可用一个带通滤波器模拟，如图所示。窄带滤波器特性 当白噪声通过一个窄带系统时，其输出噪声集中在中心频率ω0附近的带宽W内，这种噪声称为窄带噪声。二、窄带噪声(a)窄带滤波器(b)窄带滤波器特性(c)白噪声通过窄带滤波器的功率谱 窄带噪声的波形是一个接近频率ω0的正弦波，但其振幅和相位却在缓慢地波动。且带宽越窄频率越接近于ω0。随机缓慢变化的包络频率近似为ω0 因此，可以把窄带噪声写成R(t)——随机包络函数φ(t)——随机相位函数上式还可改写为:两者变化比载波缓慢得多。同相分量正交分量 那么：包络函数相位函数 三、窄带过程的及由提取及的方法如图.LPFLPF可见：当通过低通滤波器后，得到同相分量，同理：当通过低通滤波器后，得到正交分量.及都是中心在的低通过程. 四、及的统计特性 图解： 重要结论其同相分量及正交分量皆为平稳高斯过程；均值皆为0，方差等于σ2x，且两者在同一时刻是互不相关和统计独立的（因为是高斯过程）。即有： 补充习题：2.6若信号,试求自其相关函数、功率谱密度、信号功率。2.5已知信号,(1)求此信号的自相关函数R（τ）(2)求R（0）(3)求Sf(ω)2.0设有一信号如下：试问它是功率信号还是能量信号？并求其功率谱密度或能量谱密度。 2.8设m(t)为平稳随机信号，功率谱密度为Sm(ω）,求已调信号的功率谱密度。2.7某系统方框图如图所示。是一个周期为T的脉冲序列（1）求g1(t)的表示式及其频谱G1（ω）（2）求g2(t)的表示式及其频谱G2（ω）（3）画出的波形和它们的频谱函数（假设）。 2.9将一个均值为零，功率谱密度为的高斯白噪声加到一个中心频率为ωc、带宽为B的理想带通滤波器上，如图所示，（1）求滤波器输出的自相关函数；（2）写出输出噪声的一维概率密度函数。 2.10若是平稳随机信号，自相关函数,试求其通过如图所示系统后的自相关函数及功率谱密度。 2.11设一个随机相位的正弦波为其中A和ωc均为常数；θ是一个在（0，2π）内均匀分布的随机变量。试求：（1）的均值和方差；（2）的自相关函数和功率谱密度；（3）的总平均功率。'