电磁场与微波技术课件PPT黄玉兰 74页

'第1章矢量分析 矢量代数1.1矢量场的散度1.2矢量场的旋度1.3标量场的梯度1.4亥姆霍兹定理1.5常用坐标系1.6 如果在空间的一个区域中，每一点都有一个物理量的确定值与之对应，则在这个区域中就构成了该物理量的场。场的一个重要属性是它占有一个空间，它把物理量用空间和时间的数学函数来描述。标量场在数学上只用一个代数变量描述，只有大小，没有方向。矢量场不仅需要定出大小，而且需要定出方向。 1.1矢量代数矢量既有大小，又有方向。矢量A可以表示为A=eAA，其中A表示矢量A的大小，eA表示矢量A的方向。 A=exAx+eyAy+ezAz(1.1)由式(1.1)可以看出，一个矢量场对应三个标量场。 1.1.1矢量的加法和减法两个矢量相加，等于两个矢量相应的分量分别相加，它们的和还是一个矢量。如图1.1(b)所示。A+B=ex(Ax+Bx)+ey(Ay+By)+ez(Az+Bz)(1.4) 两个矢量相减，等于两个矢量相应的分量分别相减，它们的差依旧是一个矢量。如图1.1(c)所示。A-B=A+(-B)=ex(Ax-Bx)+ey(Ay-By)+ez(Az-Bz)(1.5) 图1.1矢量加减法 1.1.2标量与矢量相乘标量k与矢量A相乘，结果是A的方向未变，大小改变了k倍，kA=eAkA=exkAx+eykAy+ezkAz(1.6) 1.1.3矢量的点积矢量A与矢量B的点积，写成A·B，它的结果是一个标量，其大小等于两个矢量的大小与它们夹角θ余弦的乘积，如图1.2所示，表示为A·B=ABcosθ(1.7a)A·B=AxBx+AyBy+AzBz(1.7b) 图1.2点积的图示 1.1.4矢量的叉积矢量A矢量B的叉积，写成A×B，它的结果是一个矢量，其大小等于两个矢量的大小与它们夹角θ正弦的乘积，其方向垂直于矢量A与矢量B组成的平面(符合右手螺旋法则)，如图1.3所示，表示为A×B=enABsinθ(1.8a) 图1.3叉积的图示及右手螺旋 exeyezA×B=AxAyAz(1.8c)BxByAz 例1.1已知A=ex3+ey4+ez2,B=ex2+ey4+ez7,求:（1）A·B;(2)A与B的夹角;(3)A×B。解（1）A·B=AxBx+AyBy+AzBz=3×2+4+4+2×7=36 (2)A·B36cosθ==≈0.80AB32+42+2222+42+72 (3)exeyezA×B=AxAyAzBxByAz =ex(4×7－2×4)+ey(2×2－3×7)+ez(3×4－4×2)=ex20－ey17+ez4 1.2矢量场的散度1.2.1矢量场的矢量线矢量场A可以用画图的方式描述，称为矢量场的矢量线（也叫做力线、流线、通量线等）图。矢量线图上每一点处的切线应当是该点矢量场的方向，如图1.4（a）所示。 图1.4矢量场的矢量线图 1.2.2矢量场的通量面元矢量dS定义为dS=endS(1.12) 图1.5矢量的通量图 1.2.3矢量场的散度散度的定义设有矢量场A，在场中任一点P处做一个包含该点的闭合面S，设闭合面S所包围的体积为Δτ。当体积Δτ以任意方式缩向点P时，每单位体积由闭合面S向外穿出的净通量为矢量场A在该点的散度，即 SA·dSdivA=lim(1.16)Δ0Δ∮ττ 于是得到A的散度在直角坐标系中的计算公式为 n的取向有两种情形：一种是面元dS为开表面，这个开表面由一条闭合曲线C围成，选择C的环行方向后，按右手螺旋法则，螺旋前进的方向为en的方向；另一种是面元dS为闭合面上的一个面元，则en取闭合面的外法线方向。 通量=∫S|A|cosθdS=∫SA·dS(1.13)在直角坐标系中，∫S·dS=∫S(exAx+eyAy+ezAz)·(exdSx+eydSy+ezdSz)=∫S(AxdSx+AydSy+AzdSz) 散度的定义：设有矢量场A，在场中任一点P处作一个包含该点的闭合面S，设闭合面S所包围的体积为。当体积以任意方式缩向点P时，每单位体积由闭合面S向外穿出的净通量为矢量场A在该点的散度，即1.2.3矢量场的散度 (1.16) 于是得到A的散度在直角坐标系中的计算公式为(1.17) 为了方便，我们引入一个矢量微分算子，称为哈密顿算子，它在直角坐标系表示为(1.18) (1.19) 例１.２　已知矢量场求：（1）（2）计算通量　　　　　。积分区域为闭合面Ｓ，Ｓ为一个球心在原点、半径为的球面。 解（1）（2）的方向与　　的方向相同，所以有： 1.2.4散度定理散度定理也称高斯散度定理，表示为(1.20)式中积分区域为闭合面S所包围的体积，并假设A及其一阶导数连续。 例1.3已知现有一个边长为1的单位立方体，它的一个顶点在原点，如图1.7所示。 图1.7例1.3图 求：（1）矢量场的散度；（2）计算通量，积分区域为如图所示的单位立方体；（3）验证高斯散度定理。 解（1） （2）A从单位立方体内穿出的通量为分三对面分别计算。 （3）因此，，高斯散度定理成立。 1.3矢量场的旋度1.3.1矢量场的环流设某矢量场A绕着场中某闭合路径C的线积分为(1.21)上述线积分称为该矢量场A的环流。 称为线元矢量，线元矢量既有大小，也有方向。 1.3.2矢量场的旋度A的旋度，记为或。(1.22)式中为矢量在面元矢量上的投影，如图1.8所示。 图1.8在面元上的投影 (1.24)旋度有一个重要的性质，就是它的散度恒等于0。(1.25) 1.3.3斯托克斯定理在矢量分析中，除散度定理外，另一个重要的定理是斯托克斯定理，即(1.26)式中积分区域面S的外围线为C。 例1.4已知。现有一个在面内的闭合路径C，此闭合路径由和之间的一段抛物线和两段平行于坐标轴的直线组成，如图1.9所示。 图1.9例1.4图 求：（1）矢量场的A旋度；（2）计算环流。积分区域为如图所示的闭合路径C；（3）验证斯托克斯定理。 解（1） （2） （3）斯托克斯定理成立。 1.4标量场的梯度标量场是仅用大小就能完全表征的场。为了研究标量场的空间分布和变化规律，引入等值面、梯度和方向导数的概念。 1.4.1标量场的等值面等值面就是标量函数相等的点构成的曲面，如图1.10（a）所示。等值面画在二维平面上就成为等值线，例如在地图上的等高线就是等值线，如图1.10（b）所示。 图1.10标量场图 1.4.2标量场的梯度(1.27)而矢量为(1.28)称为标量场的梯度，也可用表示。梯度是与等值面垂直的一个矢量，是沿等值面法向的变化率。 1.4.3标量场的方向导数为沿方向的变化率，称为标量场沿方向的方向导数。(1.29) 例1.5已知标量场。求空间一点A（1,0,1）的梯度和沿方向的方向导数。 解由梯度公式(1.28)有 方向的单位矢量为 故沿方向的方向导数为 梯度有一个重要的性质，就是它的旋度恒等于0。(1.30)在直角坐标系中(1.31) 1.5亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理在空间有限区域内有一矢量场F，若已知它的散度、旋度和边界条件，则该矢量场就唯一确定了。换言之，一个矢量场所具有的特性完全由它的散度和旋度确定。 如果一个矢量场的旋度为0，则称为无旋场；如果一个矢量场的散度为0，则称为无散场。矢量场的散度对应标量源，称为发散源；矢量场的旋度对应矢量源，称为旋涡源。对于一个无旋场，可以表示为一个标量场的梯度，这一原则将标量场与矢量场联系了起来。 1.6常用坐标系1.6.1直角坐标系（1.35）（1.36） （1.37）（1.38） 1.6.2圆柱坐标系图1.15圆柱坐标系 （1.47）（1.48）（1.49） （1.50）（1.51） (1.53)(1.55) 1.6.3球坐标系图1.18球坐标系 （1.63）（1.64）（1.65）（1.66）'