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'第二节正交试验设计 一、试验设计的基本概念与正交表（一）试验设计在生产和科研活动中，为保证质量，降低成本，经常会遇到如何选择最优方案的问题。如怎样选择合适的配方，最合理的工艺参数，最佳的生产条件，安排试验方案能做到时间最省，效果最好，成本最低。要进行试验就牵涉到试验次数和试验因素的搭配问题，也就是试验安排问题。多因素试验遇到的最大困难是试验次数太多，如何搞好试验安排就成为一件十分重要的工作。如果试验安排得当，就能使试验的次数少，各种因素状态之间的关系考虑周全，取得事半功倍的效果。 （二）正交试验正交试验是一种科学安排和分析试验的方法。它是利用“均衡分散性”和“整齐可比性”的正交性原理，从大量的试验点中挑出适量的、具有代表性、典型的试验点以解决多因素问题的试验方法。它在各个专业的设计和试验中都得到广泛应用。正交试验的主要优点是合理安排试验，减少试验次数；找出较好的试验方案；找出质量指标与影响因素的关系；找到进一步改进产品质量的试验方向等。（三）正交表的结构与特点所谓正交表是有规律的，按顺序排成的表格，是正交试验的工具，正交试验是通过正交表进行的，最简单的正交表是，如表7–12所示。 表7–12正交表列号试验号1231111212232124221 常用的正交表有两大类。若记一般的正交表为，其含义如下：为正交表符号，其右下角为正交表的行数，即试验次数，如表试验次数为4次，括号中的数字的右上角为正交表的列数，即最多可安排因素数，表最多可安排3个因素，数字为每个因素有个水平，表每个因素可安排2个水平。该类正交表的行数、列数和水平数间有如下关系：如二水平正交表、、、等，三水平正交表、等，四水平正交表等，五水平正交表等，这一类正交表不仅可考察各因素对试验指标的影响，还可考察因素间交互作用的影响。 另一类正交表的行数、列数、水平数之间不满足上面两式的关系，往往只能考察各因素的影响，不能用这些正交表来考察因素间的交互作用。如二水平正交表、等，三水平正交表、等，混合水平正交表、等。正交表有如下特点：（1）每一列中，每个数字出现的次数都相等。如表中，第1列“1”出现2次，“2”也出现2次，第2列中“1”和“2”也是各出现2次。（2）任意两列中，将同一横行的两个数字看成有序数组（即左边的数放在前，右边的数在后），按这一次序排出的数组，每种数组出现的次数相等，如表里的有序数组共有四种，即（1，1）、（1，2）、（2，1）、（2，2），它们各出现一次。 二、无交互作用的正交设计与数据分析（一）试验的设计下面通过一个实例来说明应用正交表来安排试验的一般步骤和基本原理。例4某工厂生产一种检查某种疾病用的碘化钠晶体，要求应力越小越好。退火工艺是影响质量的一个重要环节。现通过正交试验希望能找到降低应力的工艺条件。在安排试验时，一般应考虑如下几步：1．明确试验目的：降低碘化钠晶体的应力。2．试验指标：碘化钠晶体的应力，应力越小越好。3．制定因素水平表：经过考察、分析，本试验中有升温速度、恒温温度和恒温时间共3个因素。选因素的水平，首先应考虑选择范围。对技术上明显坏的或实际上不能使用的水平值，通常不包括在选择范围。本例中每个因素取3个水平，因素水平表如表7–13所示。 表7–13试验因素水平表因素水平升温速度A恒温温度B恒温时间C130℃/小时600℃6小时250℃/小时450℃2小时3100℃/小时500℃4小时 4．选正交表、排表头：因素水平确定之后就可选用合适的正交表，然后排表头。本例有3个因素，每个因素有3个水平，可选用正交表，因素安排如表7–14所示。表7–14表头安排列号1234因素 选正交表的原则是正交表的列数要等于或大于因素的个数，试验次数应取最少的。在不考虑交互作用的场合排表头时，各因素可任意排在各列中，但是一经排定，在试验过程中就不能再变动。5．排列试验条件：表头排好之后，将表中每一列的数字1，2，3看成该列中每个因素应取的水平，每一行就是每次试验的条件。例如表的第一列是升温速度，在1的位置上写上℃/小时，在2的位置上写上℃/小时，在3的位置上写上℃/小时，，其他因素也是同样写法（叫对号入座），如表7–15所示。 表7–15试验方案因素试验号升温速度℃/小时恒温温度℃恒温时间小时试验结果（应力）度123456789（1）30（2）50（3）100（1）30（2）50（3）100（1）30（2）50（3）100（1）600（1）600（1）600（2）450（2）450（2）450（3）500（3）500（3）500（3）4（1）6（2）2（2）2（3）4（1）6（1）6（2）2（3）4表7–15就是具体的实验方案，表中试验9次，每次试验都是不同因素不同水平的随机搭配，例如第一个试验就是，即升温速度为30℃/小时，恒温温度为600℃，恒温时间为4小时。 6．按试验方案进行试验：试验排定之后就必须严格按照排定的试验方案进行试验，不能再变动。但试验的次序可以任意进行，不一定按照正交表的试验号的顺序依次试验。但每做一次试验都要记下所得的结果（即达到的指标）填入表7–15最右一列试验结果内。（二）试验结果分析通过不同试验方案的试验得到的试验指标，来分析试验结果并对试验方案进行评价。对试验结果的分析有两种方法，一是直观分析法，二是方差分析法。1．数据的直观分析（1）计算数据例4的试验结果及直观分析计算如表7–16所示。 表7–16试验结果及直观分析计算因素列号试验号升温速度℃/小时恒温温度℃恒温时间小时试验结果（应力）度123456789（1）30（2）50（3）100（1）30（2）50（3）100（1）30（2）50（3）100（1）600（1）600（1）600（2）450（2）450（2）450（3）500（3）500（3）500（3）4（1）6（2）2（2）2（3）4（1）6（1）6（2）2（3）4(2)(1)(3)(1)(3)(2)(3)(2)(1)6315527161312113524142011262121191843.711.784.76.73.78.7776.36极差83.351 计算各因素不同的指标和。对第一列，、、分别表示因素的三个不同水平（即水平1、水平2和水平3）三次试验结果之和，水平1三次试验结果之和与平均值分别为：，同理可得：，， 仔细观察正交表，因素对应水平1进行三次试验时，因素和因素的三个水平各参加了一次试验，由此可见、、之间的差异只反映了的三个水平间的差异，因为这三组试验条件除了因素的水平有差异外，因素与的条件是一致的，所以可以通过比较这三个平均值的大小看出因素的水平的好坏。从三个水平计算结果看，因素水平2最好，因为其指标均值最小。这种比较方法称为“综合比较”。 同样可计算因素和因素不同水平三次试验结果之和以及平均值，分别列在表7–16中，由表中数据可见因素选水平2，因素选水平1。即搭配较优的试验方案为，相应的升温速度为50℃/小时，恒温温度为450℃，恒温时间为6小时。（2）各因素对指标影响程度大小的分析各因素对指标影响程度可从各因素取不同水平时试验结果均值的极差大小来分析，因为极差大的话，改变这一因素的水平会对指标造成较大的变化，所以该因素对指标的影响大，反之，影响就小。本例中，因素的极差为： 对因素和因素的极差可同样计算，结果列于表7–16中。从三个因素的极差来看，因素的影响最大，其次是因素，而因素的影响最小。（3）画趋势图展望更好的试验条件为了进一步降低试验指标应力，以每个因素的实际水平用量为横坐标，其试验结果总和为纵坐标，画出各因素的趋势图，见图7–2所示，从图中可看出这些因素的发展趋势，作进一步分析。 图7–2 从图中可见，恒温温度在450℃、500℃、600℃三个温度上，应力逐步上升，说明如果温度下降，应力还将继续降低，这意味着原来的三个水平都选高了，就是450℃的恒温温度也是高的，再试验时可将此温度降至400℃或更低一些。应力随恒温时间为2、4、6小时逐步下降，这也证实了时间长应力低的一般结论。恒温时间为6小时以上应力也许会更低，但考虑到节约电力和提高工效等综合效益，恒温时间可以为6小时甚至更短。2．数据的方差分析在数据的直观分析中是通过极差的大小来评价各个因素对指标影响的大小，那么极差要小到什么程度可以认为该因素水平变化对指标值已经没有显著的差别了呢？为解决这一问题，需要对数据进行方差分析。在方差分析中，我们假定每一试验是独立进行的，每一试验条件下的试验指标服从正态分布，这些分布的均值与试验的条件有关，可能不等，但它们的方差是相等的。 （1）平方和分解为进行方差分析，从试验结果出发，由于试验条件的不同与试验中存在误差，因此各试验结果不同，我们可以用总偏差平方和来描述数据的总波动：其中是试验次数，是试验结果的总平均，若记，则，本例中，。造成数据波动的原因可能是因素所取水平的不同，也可能是试验误差，也可能两者都有。为此要把由各个原因造成的波动分别用数量表示。 先来分析因素的不同水平引起的数据波动。考虑因素三个水平试验结果平均值、、与试验结果总平均值的偏差平方和，记为，因为因素位于第一列上，故下标用“1”表示，其计算式为：这里乘以3是因为每一水平重复进行了三次试验，计算结果为。除了误差外只反映因素不同水平间试验结果的差异。同理可算出因素和因素的偏差平方和： 第四列上没有影响因素，也可按上述方式计算，仅反映因误差造成的数据波动，称为误差的偏差平方和，记为，即：可以证明，在中总偏差平方和与各列的偏差平方和间有如下关系：对一般正交表来讲，只要其行数、列数和水平数间满足关系则有：上式称为平方和分解式。 （2）比与方差分析类似，偏差平方和与自由度的比称为均方和，用因素的均方和与误差的均方和,进行比较，当时，认为在显著性水平上因素是显著的，其中分别为因素与误差的自由度。因素与误差的自由度同方差分析中类似，等于水平数–1，由于正交试验的因素位于正交表的列上，所以相当于正交表一列的自由度，等于。误差的偏差平方和由正交表上空白列的偏差平方和相加得到，误差的自由度为正交表上空白列的自由度相加。总偏差平方和的自由度是试验次数–1，即 当正交表行数、列数和水平数间满足关系时，对自由度也有关系式：这里，也称为正交表的自由度，是第列的自由度。（3）计算用列表的方法计算各列的偏差平方和，结果见表7–17所示： 表7–17偏差平方和计算表因素列号试验号升温速度℃/小时恒温温度℃恒温时间小时1234567891231231231112223333122311232131323216315527161312113524142011262121191843.711.784.76.73.78.7776.36123.416.638.81.6 比的计算可列成方差分析表如表7–18所示。表7–18方差分析计算表方差来源偏差平方和自由度均方和值因素因素因素误差22228.319.40.877.1310.3824.25总和8， 由于因素和因素的值大于，所以这两个因素在显著性水平0.05上是显著的，而因素不显著，但在显著性水平0.10上因素是显著的。3．最佳试验条件的选择对显著因素应该选择其最好的水平，因为其水平变化会造成指标的显著不同，而对不显著的因素可任意选择水平，实际中常可根据降低成本、操作方便等来考虑其水平的选择。由于例4中因素、、均是显著的，所以要选择最好的水平。因而因素水平2最好，应选水平2，因素选水平1，因素选水平2。 当试验指标不服从正态分布时，进行方差分析的依据就不够充分，这时可通过比较各因素的“贡献率”来衡量因素作用的大小。由于各因素偏差平方和中除了因素的效应外，还包含误差，称各因素偏差平方和–为因素的纯偏差平方和，因素的纯偏差平方和与的比称为因素的贡献率，称为误差的贡献率。例4中因素与误差的贡献率如表7–19所示。4．因素的贡献率 表7–19因素与误差的贡献率方差来源偏差平方和自由度纯偏差均方和贡献率（%）因素因素因素误差2222121.815.037.26.467.528.3120.623.55总和8 从表中可知，因素最重要，它的水平变化引起的数据波动在总的偏差平方和中占了67.52%，其次是因素和因素，分别占20.62%和8.31%，这三个因素的水平变化引起的数据波动均超过了误差引起的数据波动。（三）验证试验在例4中找到最佳条件是，该试验条件在9次试验中并未出现，因而其实际结果还有待验证，在该试验条件下是否真的能使碘化钠晶体的应力降低。假如在条件下进行了三次试验，结果分别为：0.7，0.8和0.3，其平均值为0.6，结果较满意，说明该工艺条件是较佳的。 三、有交互作用的正交设计与数据分析对以上的多因素试验，在分析因素水平对指标的影响时，只考虑因素本身对指标的影响。例如对因素来说，在讨论因素对指标影响时，不管其它因素处在什么水平，只从的极差就可判断它所起的作用的大小。对其它因素也作同样的分析，在此基础上选取各因素中较优水平。但是在某些试验中却存在另外一种情况，其中某个因素（如因素）水平的优劣，与另一因素（如因素）取什么水平有密切的依赖关系。也就是因素较优水平的选取，不能只看该因素各水平对指标影响的好坏，必须同时考虑它与因素水平之间的搭配，对因素也是如此。在这种条件下，我们称因素与因素之间存在交互作用，记作。两个因素之间的交互作用可通过图7–2来说明。 图7–2因素与交互作用示意图 图7–2（a）表示因素与不存在交互作用，这时不管因素取什么水平，因素的二水平的指标均值总比一水平的均值高。图7–2（b）中当因素取不同水平时，虽然因素的二水平的指标均值总比一水平的高，但高的程度有所不同。图7–2（c）中，当因素取一水平时，因素的二水平的指标均值比一水平的高，但是当因素取二水平时，因素的二水平的指标均值却比一水平的低。因而，图7–2（b）和图7–2（c）所显示的两种情况，一个因素水平的好坏或好坏程度受另一因素水平制约，对于这种有交互作用的试验设计与分析通过例5来说明。 例5为提高某种农药的收率，需要进行试验。（一）试验的设计试验设计的步骤类似于无交互作用的情况，但某些步骤有些差异。（1）明确试验目的：在本例中试验目的是提高农药的收率。（2）明确试验指标：本例中试验指标为收率，该指标越高越好。（3）确定试验中所考虑的因素与水平，并确定可能存在并要考察的交互作用：经分析，影响农药收率的因素有四个，它们是反应温度、反应时间、两种原料配比和真空度。根据经验，反应温度与反应时间的交互作用对收率也有较大的影响，因此在本试验中还需考察交互作用。试验中所考察的因素水平见表7–20所示。 表7–20因素水平表因素水平反应温度反应时间两种原料配比真空度160℃2.5小时1.1/150kPa280℃3.5小时1.2/160kPa （4）选用合适的正交表，进行表头设计，列出试验计划：首先根据所考察的因素的水平数选择一类正交表，该表的参数要满足条件，。本例中，所考察的因素都是二水平的，所以可从二水平正交表、、、等中选一张。在有交互作用的场合，在选择正交表时，要为交互作用留有位置，以便于今后的数据分析。在二水平场合，一个交互作用可以看成一个二水平因素。由于现在要考察四个二水平因素及一个交互作用，因此可以看成有五个二水平因素（理由在后面叙述），故选用是合适的。 在进行表头设计时要利用交互作用表，的交互作用表见表7–21所示，表中带括号的数字表示有交互作用的因素所在的列，这两个数字交叉位置上的数字表示交互作用所在的列，如第一列与第二列的交互作用位于第三列；又如，第一列与第三列的交互作用位于第二列。在进行表头设计时，应先把存在交互作用的两个因素放到表头上去，这时可以放在任意两列上，譬如现将因素与分别放在第一与第二列上，然后从交互作用表上查出这两列的交互作用列，现查得第一、第二列的交互列为第三列，则在第三列上标以，再将余下的因素分别放在其他的空白列上，譬如把因素与放在第四和第七列上，这便给出了表头设计如表7–22所示。 表7–21的交互作用表列号1234567（1）325476（2）16745（3）7654（4）123（5）32（6）1 表7–22例5表头设计列号1234567因素有了表头设计后便可写出试验计划了，将各因素及交互作用放到各列上，将表中对应的水平“1”和水平“2”换成实际的试验条件即可，按试验计划进行试验可得试验结果，见表7–23所示。 表7–23试验计划及试验结果试验号反应温度（℃）反应时间（小时）两种原料配比真空度（kPa）收率1234567860606060808080802.52.53.53.52.52.53.53.51.1/11.2/11.1/11.2/11.1/11.2/11.1/11.2/150606050605050608695919491968388 (二)数据分析1．方差分析为进行方差分析，仍然先进行平方和分解。仍用总偏差平方和来描述数据的总波动，每一列的偏差平方和可以用下式计算：上式中各符号的含义与无交互作用的情况一致。 由于因素、、、分别位于第一、二、四和七列上，故、、、表示因素、、、的偏差平方和，它们的自由度均为1。另外第五和第六列为空白列，故误差的偏差平方和可以用这两列的偏差平方和之和来表示，即：其自由度为2，即这两列自由度之和。第三列的偏差平方和为交互作用的偏差平方和，除误差外，只反映了交互效应不同所引起的数据波动，其自由度为两因素自由度的乘积，因而为1。正交表有类似的平方和分解式：，各列偏差平方和、总偏差平方和各列同一水平四次试验结果之和的计算见表7–24所示。 表7–24例5中各列偏差平方和、同一水平四次试验之和及总偏差平方和计算表因素列号试验号1234567123456781111222211221122112222111212121212122121122112211221211286959194919683883663583683563523723513733613633593653593658185060.50.54.54.5 表7–25例5题方差分析表各因素、交互作用、误差的偏差平方和与相应的自由度计算结果见表7–25所示。从表7–25中的方差分析可知，在显著性水平0.05上，因素与交互作用对指标有显著影响。方差来源偏差平方和自由度均方和比8.018.060.54.550.05.01111128.018.060.54.550.02.53.27.224.21.820.07 2．最佳条件的选择对显著因素，可通过比较两个水平下数据均值或数据和得到最佳水平，从表7–24可知，因素取二水平最好。对显著的交互作用，先要计算两个因素在不同水平搭配下数据的均值，再通过比较得出哪种水平组合为好，故要计算在四种搭配下数据的均值。从表头设计可知，因素与分别放在第一列与第二列，故其水平搭配用这两列的水平组合，组合进行的试验号是1与2，则将这两个试验结果求平均，便得到这一搭配下的数据均值，其他类似可得，计算结果见表7–26所示。 表7–26四种搭配结果计算表由于农药的收率越高越好，因而从表7–26结果可见，因素与的搭配以较好。因素不显著，其水平可任取，故最佳条件是。 （三）表头设计中避免混杂在进行表头设计时，若一列上出现两因素，或两个交互作用，或一个因素与一个交互作用时，称为混杂现象。当混杂现象所在列显著时，很难识别是哪个因素（或交互作用）是显著的。所以在表头设计时要避免混杂现象的出现，这是表头设计的一个重要原则。只要选择较大的正交表，混杂现象是可以避免的。在用正交表安排试验时，因素应与所在列的自由度相同，而交互作用所占列的自由度之和应与交互作用的自由度相同。如在例5中，所考察的因素都是二水平的，它们的自由度均为1，两个二水平因素的交互作用的自由度也是1，因此不管是因素还是交互作用在二水平正交表中各占一列。又譬如在一个试验中考察的是三水平因素，每一因素的自由度是2，两个三水平因素的交互作用的自由度是4，所以选用三水平正交表时，一个因素占一列，而两个三水平因素的交互作用在三水平正交表中要占两列，因为两列自由度之和恰好是4。根据表头设计避免混杂的原则，选择正交表时必须满足下面一个必要条件：所考察的因素与交互作用自由度之和≤正交表的行数–1。 例6给出下列试验的表头设计：（1）、、、为二水平因素，且要考察交互作用、；（2）、、、为二水平因素，且要考察交互作用、；（3）、、、、为三水平因素，且要考察交互作用。解：（1）由于各因素为二水平，故选用二水平正交表，又由于因素与交互作用的自由度之和为：故所选正交表的行数应满足：正交表的行数≥6+1=7，所以选正交表，表头设计如表7–27所示： 表7–27表头设计列号1234567因素（2）由于因素仍为二水平的，因而选用二水平正交表，又因素与交互作用的自由度之和为6，故所选正交表的行数应满足：正交表的行数≥6+1=7，但正交表无法安排这四个因素与两个交互作用，因为不管四个因素放在哪四列上，两个交互作用或一个因素与一个交互作用总会共用一列，从而产生混杂，如出现表7–28的情况： 表7–28表头设计混杂表7–29表头设计表7–28表头设计混杂列号1234567因素因此要选用正交表，其表头设计如表7–29所示。表7–29表头设计列号123456789101112131415因素 （3）由于因素均为三水平，故选用三水平正交表，又因素与交互作用的自由度之和为：故所用正交表的行数应满足：正交表的行数≥14+1=15，所以选用正交表，表头设计如表7–30所示。表7–30表头设计列号12345678910111213因素综上所述，选择正交表时要满足条件：所考察的因素与交互作用自由度之和≤正交表的行数–1，但满足这个条件的正交表不一定就能用来安排试验。因而这个条件只是一个必要条件。 习题七1．试述单因素方差分析和双因素方差分析的特点和应用范围。2．什么是正交表？它有何特点？3．把大片条件相同的土地分成20个小区，播种4种不同品种的小麦，进行产量对比试验。每一品种播种在5个小区地块上，共得到20个小区产量的独立观察值如下表。问不同品种小麦的小区产量有无显著差异（）？小区产量试验批号12345品种因素32.333.330.329.334.033.034.326.034.336.335.329.835.036.932.328.036.534.535.828.8 4．设有3种机器，，制造同一种产品，对每种机器各观测5天，其日产量如下表所示。问机器与机器之间是否真正存在差别（）？试验批号日产量机器12345416545485751415456497248576448 5．设4个工人操作机器，，各一天，其日产量如下表所示。问是否真正存在机器或工人之间的差别（）？日工人产量机器505352475442475741535848 6．某厂为提高磁鼓电机的输出力矩，在改进工艺参数时选定因素水平表为：因素水平充磁量（特）定位角度（度）定子线圈匝数（匝）12390011001300101112708090现用正交表进行试验，试验计划及结果如下表： 因素列号试验号充磁量特定位角度度定子线圈匝数匝试验结果（力矩）牛顿米123456789111222333123123123123231312123312231160215180168236190157205140试确定因素的显著性次序及因素适宜水平结合（，）。 7．某厂为提高某产品优质品率，决定对其生产中的有关因素及其交互作用是否有显著影响进行试验，以期寻找优质品率最高的最佳因素水平组合。假定为三因素二水平，如下表所示：因素水平（机床）（材料）（工艺）12ⅠⅡ国产进口传统新型现用正交表进行试验，试验计划及结果如下表： 因素列号试验号优质品率（%）12345678111122221122112211222211121212121212212112211221122121123035203015501540试确定各因素及交互作用的显著性及最佳因素水平组合（，）。'