电子科大随机信号分析教学课件PPT平稳性与功率谱密度 117页

'随机信号分析第3章平稳性与功率谱密度8/18/20211/117 第3章平稳性与功率谱密度有一类极为重要的随机信号，它的主要（或全部）统计特性关于参量保持“稳定不变”，这种随机信号被称为平稳随机信号。本章讨论：1）严格与广义平稳性；循环平稳性；2）平稳信号相关函数的特性；有关物理意义；3）平稳信号的功率谱密度与互功率谱密度；4）白噪声及其实例——热噪声8/18/20212 3.1平稳性与联合平稳性3.2*循环平稳性3.3平稳信号的相关函数3.4功率谱密度与互功率谱密度3.5白噪声与热噪声3.6应用举例8/18/20213 3.1平稳性与联合平稳性平稳性（Stationarity）:平稳性是指随机信号的统计特性不随观察时刻t（或观察时刻组t1,t2,…,tn）平移而变化的性质，相应的随机信号被称为平稳随机信号。例：8/18/20214 8/18/20215 3.1.1严格平稳与广义平稳随机信号定义3.1若对于任意的，随机过程{X(t),t∈T}的任意n维概率分布函数满足则称X(t)是严格平稳随机信号,记作SSSR.S1.严平稳随机过程SSSR.S.强平稳随机信号狭义平稳随机信号8/18/20216 严平稳随机信号也可以由概率密度来定义：8/18/20217 b.时刻组平移时，时刻组间的相对位置不变，即任意n维概率分布函数与时刻组的起始位置无关，而只与其相对位置有关。注意：a.8/18/20218 SSSR.S.X(t)的特性(1)SSSR.S.X(t)的一维概率分布、密度函数与时间t无关；如果其均值与方差存在，它们也与时间t无关，即：一阶平稳8/18/20219 一阶密度函数平稳性示例：SSS.R.S由同分布随机变量组成8/18/202110 均值均为0，均值平稳，但各时刻的R.V.的分布不同。可见一阶平稳一定均值平稳，但均值平稳不一定一阶平稳。常数常数8/18/202111 (2)SSSR.S.X(t)的二维概率分布、密度函数与两时刻组的绝对位置(t1,t2)无关，只与相对位置有关。()证明：8/18/202112 (3)如果SSSR.S.X(t)的相关函数、协方差函数、相关系数存在，它们也只与两时刻的相对位置有关，而与两时刻组的绝对位置(t1,t2)无关。8/18/202113 8/18/202114 通常采用的等价形式，为相对时间，是核心变量，t称为绝对位置。如：8/18/202115 2.广义平稳随机过程WSSR.S.定义3.2若R.S.的均值和相关函数存在，并且满足：①均值为常数；即②相关函数与两时刻(t1,t2)的绝对值无关，只与相对差有关，即则称X(t)是广义平稳随机信号,记作WSSR.S.弱平稳随机信号宽平稳随机信号8/18/202116 3.严格平稳性与广义平稳性之间关系：定理3.1如果某高斯信号是广义平稳信号，则该信号也是严格平稳信号。关于随机序列的平稳性问题，只需要将连续时间变量t换为离散时间n8/18/202117 平稳性是随机信号的统计特性对参量（组）的移动不变性，即平稳随机信号的测试不受观察时刻的影响；应用与研究最多的平稳信号是广义平稳信号；严格平稳性因要求太“苛刻”，更多地用于理论研究中；经验判据：如果产生与影响随机信号的主要物理条件不随时间而改变，那么通常可以认为此信号是平稳的。非平稳信号：当统计特性变化比较缓慢时，在一个较短的时段内，非平稳信号可近似为平稳信号来处理。如语音信号，人们普遍实施10－30ms的分帧，再采用平稳信号的处理技术解决有关问题。说明：8/18/202118 例3.1设独立高斯随机信号U(t)的一阶概率密度函数为其中a与σ为常数。试分析其平稳性。8/18/202119 解：故U(t)一阶平稳,依题：与t无关，故X(t)是SSS.R.S.,又因为X(t)是高斯信号，故它也是WSS.R.S.一般，一阶平稳的独立R.S.是严平稳的R.S.8/18/202120 例：热噪声的取样观察值为，是一随机序列，它具有以下性质：（1）相互独立；（2）是分布，（即每一时刻取值连续、高斯）判断的平稳性；8/18/202121 X(n)是Gauss.R.S.常数RX(n1,n2)只与其相对位置n1-n2有关解：8/18/202122 1.(0,1)贝努里随机信号常数R(n1,n2)与n1,n2的绝对位置无关，只与其相对位置有关，故也广义平稳与n无关，是严格平稳信号。8/18/202123 2.随机正弦信号R(t1,t2)与t1,t2的绝对位置无关，只与其相对位置有关，故广义平稳常数，是确定量，独立，服从参数为的瑞利分布，。8/18/202124 3.(-1,1)半随机二进制传输信号R(t1,t2)与t1,t2的绝对位置有关，故非广义平稳常数也非严平稳随机二进制传输信号却是严平稳的R.S.8/18/202125 补充例：随机信号X(t)=Ay(t)，其中A为高斯随机变量，y(t)为确定的时间函数，判断X(t)是否为SSS.R.S.解：与t有关故X(t)非WSS.R.S.与t有关,非SSS.R.S.8/18/202126 X(t)与t无关,X(t)的全部概率特性不随观察时刻组平移而变，故X(t)是SSS.R.S.8/18/202127 补充例：判断如下四个正弦随机信号是否广义平稳？式中：8/18/202128 常数3.2*可证：随机相位余弦波也是严平稳的R.S.RX(t1,t2)与t1,t2的绝对位置无关，只与其相对位置τ有关故，R.S.X(t)WSS8/18/202129 均值是t的函数，故R.S.X(t)不是WSS的1tR.S.X(t)也不是SSS的A>08/18/202130 均值是t的函数，故R.S.X(t)不是WSS的R.S.X(t)也不是SSS的8/18/202131 常数8/18/202132 故，R.S.X(t)WSSRX(t1,t2)只与其相对位置τ有关8/18/202133 例3.3广义平稳随机信号X(t)通过如图所示的乘法调制器得到随机信号Y(t)，图中ω是确定量，Θ是[-π,+π]均匀分布的随机相位，Θ与X(t)是统计独立的。试讨论随机信号Y(t)的平稳性。8/18/202134 解：由上题可知，R.S.是WSS的依题意：常数8/18/202135 相关函数可以表示为由于均值是常数且相关函数仅与τ有关，Y(t)是广义平稳的。作业：3.13.43.53.68/18/202136 补充例：由三个样本函数组成R.S.，每个样本发生的概率相等.（2）（3）是否广义平稳和严平稳？求：（1）自学8/18/202137 解:(1)8/18/202138 只看，就可以说明非WSS,更非SSS.（2）8/18/202139 3.1.2随机信号的联合平稳性1.联合严格平稳JSSSR.S.定义3.3对于任意的，若随机过程X(t)、Y(t)的任意n+m维概率分布函数满足则称X(t)、Y(t)是联合严格平稳随机信号。Joint8/18/202140 上式等同于：即：8/18/202141 性质：8/18/202142 定义3.4：广义平稳随机过程与，如果2.联合广义平稳性JWSS则称X(t)与Y(t)是联合广义平稳随机信号，记作JWSSR.S.。8/18/202143 解：由例3.3，X(t)与Y(t)分别广义平稳例3.4讨论例3.3中乘法调制器的输入与输出信号的互相关函数与联合平稳性。且：注意：如果振荡不是随机相位的，则输出信号可能不是平稳的，输入与输出信号不会正交，也不会联合广义平稳。因此，输入与输出信号是联合广义平稳的，并且正交。作业：3.88/18/202144 3.3平稳信号的相关函数3.3.1基本性质相关函数是实偶函数性质1：若{X(t),t∈T}是实平稳信号，则证明：8/18/202145 例：关联性（内在联系）在同一时刻最紧密，X(t)的相关函数为周期函数时可能取“＝”关于相对时间τ的周期性相关函数在原点处非负，并达到最大，即8/18/202146 若，则是周期为τ1的周期函数，即对任意τ有关于相对时间τ的周期性若且τ1与τ2不公约，则为常数；若在原点处连续，则它处处连续；此时，X(t)称为周期平稳信号。8/18/202147 判断下列图形可否成为实WSSR.S.的自相关函数？都不是自相关函数(3)(4)不满足(4)不满足(1)(2)不满足(4)不满足(1)不满足判断原则：(1)对称性(2)非负，最大值点(3)连续性(4)周期性(2)不满足8/18/202148 性质2若是平稳信号，则（1）（2）性质3若与联合平稳，则（1）（2）8/18/202149 3.3.2相关函数的物理意义若信号含有平均分量（均值），则含有固定分量。式指明了这点；若信号含有周期分量，则将含有同样周期的周期分量。周期特性可如下说明：8/18/202150 等价于“信号依均方意义（也依概率为1）呈现周期性”的充要条件是“是周期函数”，这种信号称为周期平稳信号。若信号不含有任何周期分量，则随机变量与的关联程度会随着时间间距的增大而逐渐减小，直至无关。关于相对时间τ的周期性例：8/18/202151 性质4.实际应用中的非周期平稳信号，一般都满足，与等价于，，与其它主要参数：相关函数关于相对时间τ不具周期性8/18/202152 自相关系数与自相关时间(1)使用表示关联性8/18/202153 （2）相关时间一般，随τ增大，X(t)和X(t+τ)的相关性减弱。工程上，近似认为只要ρX(τ)小于某值，则这两个时刻的RV就近似不相关了。这时，间隔时间τ称为相关时间τ0。定义1：定义2：用矩形等效形式定义相关时间同相关系数一样，是相关程度的度量。8/18/202154 【注】：τ0与ρ(τ)下降快慢有关。τ0越小，ρ(τ)随τ的增加降低越快,随机过程的起伏越快；τ0越大，随机过程的起伏越慢。通常的τ0、τc值一般不相等，它们都示出了相关性有无的大致分界处8/18/202155 补充例题：设平稳过程的自协方差函数分别为式中b为正的常数。求1）由协方差能否求出它们各自的均值？2）它们的相关系数和相关时间；并判断哪个过程的起伏速度快。解：1）不能。8/18/202156 2）8/18/202157 补充例：若WSS.GaussR.S.的自相关函数如图所示，求(1)；(2)当t1-t2=1.5T和t1-t2=0.5T时的二维联合概率密度函数。-TT51解：8/18/202158 -TT48/18/202159 8/18/202160 -TT48/18/202161 8/18/202162 解：信号X(t)通常被视为两个平稳信号U(t)与V(t)的和，即例3.7工程应用中平稳信号X(t)的自相关函数为试估计其均值、均方值和方差。无关或独立U(t)与V(t)的自相关函数分别为并假设V(t)均值为0于是8/18/202163 所以，的均值为10、均方值为300、方差为200。U(t)是X(t)的非周期分量，可得于是，8/18/202164 作业：3.93.123.143.168/18/202165 3.4功率谱密度与互功率谱密度确定信号时域：信号随时间变化的特性频域：信号频率成分及各频率成分大小信号谱随机信号时域：从统计意义上分析频域：一个样本函数的特性不能代表全体，故也应从统计意义上分析功率谱8/18/202166 3.4.1基本概念1.确知信号的功率及功率谱密度(1)能量型信号存在傅立叶变换E：归一化能量（单位电阻上耗散的平均能量）8/18/202167 由帕塞瓦尔定理：能量谱分布密度函数，表征了信号能量沿轴的分布。或表示信号在单位频带上分布的能量。8/18/202168 (2)功率型信号功率型信号一般持续时间无限，不满足绝对可积的条件。注意：1)能量型信号的能量有限，功率为0；2)功率型信号的功率有限，能量为无穷。P：归一化功率（单位电阻上耗散的平均功率）8/18/202169 截取称为的截断函数。即存在傅立叶变换8/18/202170 由帕塞瓦尔定理：令，在的平均功率为：8/18/202171 令功率谱密度函数，简称功率谱表征了信号功率沿轴的分布。物理含义：如果在某个ω0处S(ω0)比较大，则信号x(t)中含有较大的ω0频率分量；如果在某个ω0处S(ω0)=0，则信号中不含有该ω0频率分量。8/18/202172 2.随机信号的功率及功率谱密度(1)随机信号的样本功率及样本功率谱密度截断函数R.S.的一个样本函数即一个确定的时间信号（功率型）8/18/202173 功率时域描述功率频域描述样本平均功率是ξ的函数，是R.V.8/18/202174 样本功率谱密度是ξ的函数，是ω的函数，是R.S.8/18/202175 (2)随机信号的平均功率及平均功率谱密度对样本功率取统计平均随机信号的平均功率对样本功率谱取统计平均随机信号的平均功率谱8/18/202176 随机信号的平均功率与相关函数的关系X(t)广义平稳时证明：8/18/202177 随机信号的平均功率与平均功率谱的关系证：总之（平稳信号）：8/18/202178 定理3.4（维纳--辛钦定理）平稳信号{X(t),t∈T}的功率谱是其自相关函数的傅里叶变换，即功率谱密度PSD--PowerSpectralDensity3.4.2定义与性质1.功率谱密度反变换正变换8/18/202179 性质1.随机信号X(t)的功率谱满足(1)，非负实函数SX(ω)含有X(t)的幅度信息，不含相位信息(2)若X(t)为实WSS.R.S.,则8/18/202180 双边功率谱密度与单边功率谱密度双边功率谱密度单边功率谱密度物理功率谱密度8/18/202181 例3.8求正弦信号的功率谱解：X(t)均值为0相关函数为瑞利分布随机幅度，随机相位X(t)为广义平稳信号可见它是正的实偶函数，信号的功率全部集中在频率处8/18/202182 说明：与确定信号不同的是，随机信号的频域分析主要是考察它的功率谱，而非信号谱。考虑8/18/202183 相位的不确定性，使的傅里叶变换是随机的，虽然损失了相位特性，但有效地给出信号成份的分布。易见，它的统计平均为零。而的功率谱为，8/18/202184 例3.9已知WSS随机信号的功率谱为，求自相关函数和均方值。解：首先进行分解，均方值为平均功率8/18/202185 例：判断下列式子能否作为实R.S.X(t)的功率谱1）2）解：1）当时，，故不能。2）是判断准则：非负的、实的、偶的8/18/202186 定义3.8：联合平稳信号X(t)与Y(t)的互功率谱定义为其互相关函数的傅里叶变换，即物理意义：如果很大，表明两个R.S.的相应频率分量关联度很高；如果表明其相应频率分量是正交的。2.互功率谱密度它们简称为互功率谱（Crosspowerspectraldensity）8/18/202187 性质2互功率谱具有对称性：1)两种互功率谱的实部相同，而虚部反号；2)实信号的互相关函数为实函数，因此，互功率谱的实部都是偶函数，虚部都是奇函数。8/18/202188 例3.10讨论（加性）单频干扰。若实平稳随机信号X(t)受到加性的独立随机正弦分量Z(t)的干扰，已知A，ω0为常数，Θ是在[0,2π)上均匀分布的随机变量。试求：(1)受扰后的信号Y(t)的相关函数RY(t+τ,t);(2)信号X(t)，Y(t)是否联合平稳？如果是，求SY(ω)，SXY(ω)8/18/202189 由于X(t)与Z(t)独立，Z(t)是0均值，因此它们也正交对于，Y(t)也是平稳的解：首先，,正交性使得交叉项为零。8/18/202190 通过傅里叶变换可得，信号X(t)，Y(t)是联合平稳的作业：3.193.213.233.253.268/18/202191 噪声：对信号和系统功能起干扰作用的随机信号。噪声按其功率谱密度可划分为：白噪声色噪声3.5白噪声与热噪声3.5.1白噪声8/18/202192 其中：1.白噪声定义3.9若WSS.R.S.，其功率谱密度在整个频率范围内为一个非零常数，则称为（平稳）白噪声信号。简称白噪声或白信号。正实常数，单边功率谱双边功率谱8/18/202193 白噪声通常总是零均值的，因此，白噪声有时也通俗地称为“纯随机的”：1)无限带宽的理想随机信号，2)功率（即方差）为无穷大，3)而不同时刻上彼此不相关，正交8/18/202194 说明：（1）实际R.S.在非常邻近的两个时刻的状态总有一定关联性，故其相关函数不可能为严格的函数。（2）工程上，当信号带宽系统带宽，且信号功率谱在系统通频带内及通频带附近基本恒定，就认为该信号是白噪声。且实际信号功率总是有限的，带宽也是有限的。白噪声只是一种理想的数学模型。热噪声8/18/202195 若白噪声的每个随机变量都服从高斯分布，则称它为高斯白噪声（WGN,WhiteGaussiannoise）。它也是独立信号，代表着信号“随机性”的一种极限。如果序列，恒有，则称它是白噪声序列。高斯白噪声序列是独立序列，利用独立性，很容易写出它的任意阶密度函数。或高斯白噪声在不同时刻上的随机变量彼此不相关，正交，独立8/18/202196 定义：若R.S.功率谱密度在频带内不为常数，则称为色噪声。即：是的函数。2.色噪声如8/18/202197 例3.11方差为的高斯白序列。试求：（1）相关函数与协方差函数；（2）k维密度函数。解：也是同分布的独立信号。于是，8/18/202198 3.6应用举例例3.13讨论随机正弦信号的广义平稳条件。变量A的均值为,方差为,Θ的特征函数为,Θ与A统计独立。解：计算均值与自相关函数。首先8/18/202199 当且仅当时，（常数）。8/18/2021100 当且仅当时，上式等于0。8/18/2021101 随机相位的正弦信号广义平稳的充要条件是：此时，比如当时，8/18/2021102 解：例3.3已说明是广义平稳的，并且，例3.14:讨论乘法调制信号的功率谱X(t)为实广义平稳随机信号，其功率谱为，Θ与X(t)统计独立8/18/2021103 可见，调制使得信号的谱平移到处08/18/2021104 例3.15讨论随机二元（二进制）传输信号的平稳性与功率谱。半随机二进制传输信号：常用于传输二进制数据信息，接收信号为初始时刻“随机滑动”的二元传输信号，记为，D与统计独立，并服从均匀分布。8/18/2021105 01101100101101100110t8/18/2021106 更为一般的形式称为数字传输信号，如下式，其中，为幅度随机序列；为每个时隙的脉冲信号，T为每个时隙宽度。a-2a-1a0a1a2a3a4a5a610t0T2T3T4T5T6T-T-2TT8/18/2021107 a-2a-1a0a1a2a3a4a5a610t0T2T3T4T5T6T-T-2TTa-2a-1a0a1a2a3a4a5a60-2T-TT2T3T4T5T6T10t假定为平稳序列，均值为，自相关函数为8/18/2021108 下面证明：是平稳信号，并且，(1)均值(3.34)(2)自相关函数(3.35)(3)功率谱(3.36)其中，码元波形的自相关函数8/18/2021109 证明：（1）由于由随机序列与随机变量D复合构成，直接计算其均值不容易。先算条件平均于是8/18/2021110 10t8/18/2021111 （2）仿上，借助条件平均方法计算自相关函数。令k=n-m8/18/2021112 令,括号内的求和项中于是可见，Y(t)是平稳信号8/18/2021113 而（3）下面计算功率谱。容易看出，（3.37）于是8/18/2021114 考虑为二进制无关序列，且典型的随机二进制传输信号：，易知，1tT/2-T/28/18/2021115 于是，随机二进制传输信号的特性如下：且，(3.38)1tT/2-T/28/18/2021116 (3.39)（a）自相关函数（b）功率谱8/18/2021117'