华东理工高等数学(上)11学分课件PPT-2.2.4无穷大与无穷小#.ppt 12页

'2.2.4无穷小与无穷大A.无穷小定义无穷小的分析定义自变量x的变化趋势是其它情形的无穷小分析定义同学可以模仿写出。 例如,注意:(2)无穷小是变量,不能与绝对值很小的数混淆.(3)零是可以作为无穷小的唯一的常数.(为什么？)一个函数是否为无穷小与自变量的趋限过程有关. 无穷小与函数极限的关系:证:必要性充分性 意义:(1)将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);上述定理被称为极限基本定理。 B.无穷大(量)定义设函数f(x)在点x0的某去心领域内有定义,如果对任意的正数M,总存在正数,当0<|xx0|<时,必有|f(x)|>M成立,则称函数f(x)是xx0时的无穷大(量),定义中将|f(x)|>M改为f(x)>M(或f(x)M),在自变量x某趋限过程中,若|f(x)|无限增大,就称f(x)为此变化过程中的无穷大。则称f(x)是xx0时的正无穷大(或负无穷大),记作: 注意:(1)无穷大是变量,不能与绝对值很大的数混淆.(3)无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大. 不是无穷大．无界, 例.分析:证明：当|X|<1时， 类似单侧极限,也定义:并有下面的结论: 定理9.在x的某趋限过程中性质1在x的某趋限过程中,若函数f(x)是无穷大,函数g(x)是有界量,则f(x)+g(x)是无穷大。性质2在x的某趋限过程中,若函数f(x)是无穷大,函数g(x)满足|g(x)|M(M是一正常数),则f(x)g(x)是无穷大。推论在x的某趋限过程中,若函数f(x)和g(x)都是无穷大,则f(x)g(x)是无穷大。 若x0为有限常数,注意:例如,当x时,x是无穷大,sinx是有界量,但xsinx不是无穷大,(x).无穷大与无穷大之和不是无穷大的举例学生完成.则称直线x=x0为曲线y=f(x)的铅直渐近线.(1)有界量与无穷大的乘积不一定是无穷大.(2)无穷大与无穷大之和不一定是无穷大. '