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'中考数学四边形与证明 2008年二、空间与图形课程标准及学习目标 (5)四边形①探索并了解多边形的内角和与外角和公式，了解正多边形的概念。②掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念和性质，了解它们之间的关系；了解四边形的不稳定性。③探索并掌握平行四边形的有关性质[1]和四边形是平行四边形的条件[2]。’④探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质[3]和四边形是矩形、菱形、正方形的条件[4] (1)了解证明的含义①理解证明的必要性。②通过具体的例子，了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件(题设)和结论。③结合具体例子，了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立。④通过具体的例子理解反例的作用，知道利用反例可以证明一个命题是错误的。⑤通过实例，体会反证法的含义。⑥掌握用综合法证明的格式，体会证明的过程要步步有据。4．图形与证明 (2)掌握以下基本事实，作为证明的依据①一条直线截两条平行直线所得的同位角相等。②两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，那么这两条直线平行。③若两个三角形的两边及其夹角(或两角及其夹边，或三边)分别相等，则这两个三角形全等。④全等三角形的对应边、对应角分别相等。 (3)利用(2)中的基本事实证明下列命题[1]①平行线的性质定理(内错角相等、同旁内角互补)和判定定理(内错角相等或同旁内角互补，则两直线平行)。②三角形的内角和定理及推论(三角形的外角等于不相邻的两内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角)。③直角三角形全等的判定定理。④角平分线性质定理及逆定理；三角形的三条角平分线交于一点(内心)。 ⑤垂直平分线性质定理及逆定理；三角形的三边的垂直平分线交于一点(外心)。⑥三角形中位线定理。⑦等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定定理。⑧平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理。(4)通过对欧几里得《原本》的介绍，，感受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值。 四边形一、四边形的分类及转化二、几种特殊四边形的性质三、几种特殊四边形的常用判定方法四、中心对称图形与中心对称的区别和联系五、有关定理六、主要画图七、典型举例 一、四边形的分类及转化任意四边形平行四边形矩形菱形正方形梯形等腰梯形直角梯形两组对边平行一个角是直角邻边相等邻边相等一个角是直角一个角是直角两腰相等一组对边平行另一组对边不平行 项目四边形对边角对角线对称性平行四边形矩形菱形正方形等腰梯形平行且相等平行且相等平行且四边相等平行且四边相等两底平行两腰相等对角相等邻角互补四个角都是直角同一底上的角相等对角相等邻角互补四个角都是直角互相平分互相平分且相等互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角相等互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角中心对称图形中心对称图形轴对称图形中心对称图形轴对称图形中心对称图形轴对称图形轴对称图形二、几种特殊四边形的性质： 四边形条件平行四边形矩形菱形正方形等腰梯形三、几种特殊四边形的常用判定方法：1、定义：两组对边分别平行2、两组对边分别相等3、一组对边平行且相等4、对角线互相平分1、定义：有一外角是直角的平行四边形2、三个角是直角的四边形3、对角线相等的平行四边形1、定义：一组邻边相等的平行四边形2、四条边都相等的四边形3、对角线互相垂直的平行四边形1、定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形2、有一组邻边相等的矩形3、有一个角是直角的菱形1、两腰相等的梯形2、在同一底上的两角相等的梯形3、对角线相等的梯形 四、中心对称图形与中心对称的区别和联系中心对称图形：中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180°后与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。如果把一个图形绕着某一点旋转180°后与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点中心对称，这个点叫做对称中心。ABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDC′A′B′ABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABC1、中心对称的两个图形是全等图形2、中心对称的两个图形的对称点连线通过对称中心，且被对称中心平分中心对称图形的对称点连线通过对称中心，且被对称中心平分oo 五、有关定理：1、四边形的内角和等于，外角和等于。n边形的内角和等于，外角和等于。2、梯形的中位线于两底，且等于。平行360°（n-2）180°360°两底和的一半360°条件：在梯形ABCD中，EF是中位线3、两条平行线之间的距离以及性质：平行线段两条平行线夹在两条平行线间的相等夹在间的垂线段相等AB两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫这两条平行线的距离。ABFEDC如：ABCDL1L2如：ABCDL1L2如：结论：EF∥AB∥CD，EF=（AB+CD）12 4、一组平行线在一条直线上截得的线段相等，则在其它直线上截得的线段也。5、过三角形一边的中点，且平行于另一边的直线，必过。6、过梯形一腰的中点，且平行于底边的直线，必过。ABCDEF条件：AD∥BE∥CF，AB=BC结论：DE=EFABCDE条件：在△ABC中，AD=BD，DE∥BC结论：AE=ECABFEDC条件：在梯形ABCD中，AE=DE，AB∥EF∥DC结论：BF=FC相等第三边的中点另一腰的中点 六、主要画图：1、画平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形如：画一个平行四边形ABCD，使边BC=5cm,对角线AC=5cm，BD=8cm.ABCDO452.5452.5OBCAD 2、用平行线等分线段CNC如图：点C就是线段AB的中点AB把线段AB二等分AB把线段AB五等分 EDFH如图：点C就是线段AB的中点2、用平行线等分线段CNCAB把线段AB二等分AB把线段AB五等分如图：点D、E、F、H就是线段AB的五等分点 七、典型举例：例1：如图，四边形ABCD为平行四边形，延长BA至E，延长DC至F，使BE=DF，AF交BC于H，CE交AD于G.求证：∠E=∠FABHFCDEG证明：四边形ABCD是平行四边形AB∥CD=BE=DFAE∥CF=四边形AFCE是平行四边形注：利用平行四边形的性质来证明线段或角相等是一种常用方法。∠E=∠F 例2：如图，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠B=∠D=90°，求四边形ABCD的面积。BADCE注：四边形的问题经常转化为三角形的问题来解，转化的方法是添加适当的辅助线，如连结对角线、延长两边等。解：延长AD，BC交于点E，∵在Rt△ABE中，∠A=60°，∴∠E=30°又∵AB=2∴BE=√3AB=2√3∵在Rt△CDE中，同理可得DE=√3CD=√3∴S四边形ABCD=SRt△ABE-SRt△CDE=AB·BE-CD·DE1212=×2×2√3-×1×√31212=√33221 例3：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，中位线EF=7cm，对角线AC⊥BD，∠BDC=30°，求梯形的高线AHABCHDFE析：求解有关梯形类的题目，常需添加辅助线，把问题转化为三角形或四边形来求解，添加辅助线一般有下列所示的几种情况：平移一腰作两高平移一对角线过梯形一腰中点和上底一端作直线延长两腰 例3：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，中位线EF=7cm，对角线AC⊥BD，∠BDC=30°，求梯形的高线AHABCHDFEM解：过A作AM∥BD，交CD的延长线于M又∵AB∥CD∴四边形ABDM是平行四边形，∴DM=AB，∠AMC=∠BDC=30°又∵中位线EF=7cm，∴CM=CD+DM=CD+AB=2EF=14cm又∵AC⊥BD，∴AC⊥AM，∵AH⊥CD，∠ACD=60°∴AC=CM=7cm12∴AH=AC·sin60°=√3(cm)72 注：①解“翻折图形”问题的关键是要认识到对折时折痕为重合两点的对称轴，会形成轴对称图形。②本题通过设未知数，然后根据图形的几何元素间的关系列方程求解的方法，是数学中常用的“方程思想”。例4：已知，如图，矩形纸片长为8cm，宽为6cm,把纸对折使相对两顶点A，C重合，求折痕的长。ABCDFEOD解：设折痕为EF，连结AC，AE，CF，若A，C两点重合，它们必关于EF对称，则EF是AC的中垂线，故AF=FC，设AC与EF交于点O，AF=FC=xcm254解得x=∴AF=FC=,FD=8–x=25474答：折痕的长为7.5cm则FD=AD–AF=8-x∵在Rt△CDF中，FC=FD+CD222∴x=（8-x）+6222H在Rt△FEH中，EF=FH+EH222∴EF=6+（-）22225474∴EF=±7.5(负根舍去）作FH⊥BC于H 例4：已知，如图，矩形纸片长为8cm，宽为6cm,把纸对折使相对两顶点A，C重合，求折痕的长。ABCDFEOFOCDAOAD=FO658=FO=154FE=152解法2 祝同学们：金榜题名！愿我们：心想事成！ 第五章触发器5.1基本触发器一、基本RS触发器1．用与非门组成的基本RS触发器（1）电路结构:由门电路组成的，它与组合逻辑电路的根本区别在于，电路中有反馈线，即门电路的输入、输出端交叉耦合。 触发器有两个互补的输出端，（2）逻辑功能 （3）波形分析例5.1.1在用与非门组成的基本RS触发器中，设初始状态为0，已知输入R、S的波形图，画出两输出端的波形图。解：由表5.1.1知，当R、S都为高电平时，触发器保持原状态不变；当S变低电平时，触发器翻转为1状态；当R变低电平时，触发器翻转为0状态；不允许R、S同时为低电平。 2．用或非门组成的基本RS触发器这种触发器的触发信号是高电平有效，因此在逻辑符号的输入端处没有小圆圈。 波形分析： 基本触发器的特点总结：（1）有两个互补的输出端，有两个稳定的状态。（2）有复位（Q=0）、置位（Q=1）、保持原状态三种功能。（3）R为复位输入端，S为置位输入端，可以是低电平有效，也可以是高电平有效，取决于触发器的结构。（4）由于反馈线的存在，无论是复位还是置位，有效信号只需要作用很短的一段时间，即“一触即发”。 二、同步RS触发器给触发器加一个时钟控制端CP，只有在CP端上出现时钟脉冲时，触发器的状态才能变化。这种触发器称为同步触发器。1．同步RS触发器的电路结构 2．逻辑功能当CP＝0时，控制门G3、G4关闭，触发器的状态保持不变。当CP＝1时，G3、G4打开，其输出状态由R、S端的输入信号决定。同步RS触发器的状态转换分别由R、S和CP控制，其中，R、S控制状态转换的方向；CP控制状态转换的时刻。 3．触发器功能的几种表示方法触发器的功能除了可以用功能表表示外，还有几种表示方法：（1）特性方程由功能表画出卡诺图得特性方程： （2）状态转换图状态转换图表示触发器从一个状态变化到另一个状态或保持原状不变时，对输入信号的要求。 （3）驱动表驱动表是用表格的方式表示触发器从一个状态变化到另一个状态或保持原状态不变时，对输入信号的要求。 （4）波形图触发器的功能也可以用输入输出波形图直观地表示出来。 4．同步触发器存在的问题——空翻由于在CP=1期间，G3、G4门都是开着的，都能接收R、S信号，所以，如果在CP=1期间R、S发生多次变化，则触发器的状态也可能发生多次翻转。在一个时钟脉冲周期中，触发器发生多次翻转的现象叫做空翻。 5.2主从触发器由两级同步RS触发器串联组成。G1～G4组成从触发器，G5～G8组成主触发器。CP与CP’互补，使两个触发器工作在两个不同的时区内。一、主从RS触发器1．电路结构 2．工作原理主从触发器的触发翻转分为两个节拍：（1）当CP＝1时，CP’＝0，从触发器被封锁，保持原状态不变：主触发器工作，接收R和S端的输入信号。（2）当CP由1跃变到0时，即CP=0、CP’＝1。主触发器被封锁，输入信号R、S不再影响主触发器的状态；从触发器工作，接收主触发器输出端的状态。特点：（1）主从触发器的翻转是在CP由1变0时刻（CP下降沿）发生的。（2）CP一旦变为0后，主触发器被封锁，其状态不再受R、S影响，因此不会有空翻现象。 二、主从JK触发器主从RS触发器的缺点：使用时有约束条件RS=0。1．电路结构为此，将触发器的两个互补的输出端信号通过两根反馈线分别引到输入端的G7、G8门，这样，就构成了JK触发器。 2．逻辑功能(1）功能表：（2）特性方程： （3）状态转换图（4）驱动表 例5.2.1已知主从JK触发器J、K的波形如图所示，画出输出Q的波形图（设初始状态为0）。在画主从触发器的波形图时，应注意以下两点：（1）触发器的触发翻转发生在时钟脉冲的触发沿（这里是下降沿）（2）判断触发器次态的依据是时钟脉冲下降沿前一瞬间输入端的状态。 3．主从T触发器和T’触发器如果将JK触发器的J和K相连作为T输入端就构成了T触发器。T触发器特性方程：当T触发器的输入控制端为T=1时，称为T’触发器。T’触发器的特性方程为： 4．主从JK触发器存在的问题——一次变化现象例5.2.2已知主从JK触发器J、K的波形如图所示，画出输出Q的波形图（设初始状态为0）。解：画出输出波形如图示。由此看出，主从JK触发器在CP=1期间，主触发器只变化（翻转）一次，这种现象称为一次变化现象。 5.3边沿触发器一、维持—阻塞边沿D触发器1．D触发器的逻辑功能D触发器只有一个触发输入端D，因此，逻辑关系非常简单；D触发器的特性方程为：Qn+1=D D触发器的状态转换图：D触发器的驱动表： 2．维持—阻塞边沿D触发器的结构及工作原理（1）同步D触发器：该电路满足D触发器的逻辑功能，但有同步触发器的空翻现象。（2）维持—阻塞边沿D触发器为了克服空翻，并具有边沿触发器的特性，在原电路的基础上引入三根反馈线L1、L2、L3。 例5.3.1已知维持—阻塞D触发器的输入波形，画出输出波形图。解：在波形图时，应注意以下两点：（1）触发器的触发翻转发生在CP的上升沿。（2）判断触发器次态的依据是CP上升沿前一瞬间输入端D的状态。根据D触发器的功能表，可画出输出端Q的波形图。 （3）触发器的直接置0和置1端RD——直接置0端，低电平有效；SD——直接置1端；低电平有效。RD和SD不受CP和D信号的影响，具有最高的优先级。 二、CMOS主从结构的边沿触发器1．电路结构:由CMOS逻辑门和CMOS传输门组成主从D触发器。由于引入了传输门，该电路虽为主从结构，却没有一次变化问题，具有边沿触发器的特性。 2．工作原理触发器的触发翻转分为两个节拍：（1）当CP变为1时，TG1开通，TG2关闭。主触发器接收D信号。同时，TG3关闭，TG4开通，从触发器保持原状态不变。（2）当CP由1变为0时，TG1关闭，TG2开通，主触发器自保持。同时，TG3开通，TG4关闭，从触发器接收主触发器的状态。3．具有直接置0端RD和直接置1端SD的CMOS边沿D触发器 5.4集成触发器一、集成触发器举例1．TTL主从JK触发器74LS72特点：（1）有3个J端和3个K端，它们之间是与逻辑关系。（2）带有直接置0端RD和直接置1端SD，都为低电平有效，不用时应接高电平。（3）为主从型结构，CP下跳沿触发。 2．高速CMOS边沿D触发器74HC74特点：（1）单输入端的双D触发器。（2）它们都带有直接置0端RD和直接置1端SD，为低电平有效。（3）为CMOS边沿触发器，CP上升沿触发。 二、触发器功能的转换1.用JK触发器转换成其他功能的触发器（1）JK→D分别写出JK触发器和D触发器的特性方程比较得：画出逻辑图： （2）JK→T（T’）写出T触发器的特性方程：与JK触发器的特性方程比较，得：J=T，K=T。令T=1，即可得T’触发器。 2．用D触发器转换成其他功能的触发器（1）D→JK写出D触发器和JK触发器的特性方程：比较两式，得：画出逻辑图。 （2）D→T图（b）（3）D→T’图（c） 三、触发器应用举例例5.4.1设计一个3人抢答电路。3人A、B、C各控制一个按键开关KA、KB、KC和一个发光二极管DA、DB、DC。谁先按下开关，谁的发光二极管亮，同时使其他人的抢答信号无效。 利用触发器的“记忆”作用，使抢答电路工作更可靠、稳定。 本章小结1．触发器有两个基本性质：（1）在一定条件下，触发器可维持在两种稳定状态（0或1状态）之一而保持不变；（2）在一定的外加信号作用下，触发器可从一个稳定状态转变到另一个稳定状态。2．描写触发器逻辑功能的方法主要有特性表、特性方程、驱动表、状态转换图和波形图(又称时序图)等。3．按照结构不同，触发器可分为：(1)基本RS触发器，为电平触发方式。(2)同步触发器，为脉冲触发方式。(3)主从触发器，为脉冲触发方式。(4)边沿触发器，为边沿触发方式。4．根据逻辑功能的不同，触发器可分为：(1)RS触发器(2)JK触发器(3)D触发器(4)T触发器（T’触发器）5．同一电路结构的触发器可以做成不同的逻辑功能；同一逻辑功能的触发器可以用不同的电路结构来实现。6．利用特性方程可实现不同功能触发器间逻辑功能的相互转换。'