数学分析课件PPT之十三章函数列与函数项级数.ppt 77页

'第十三章函数列与函数项级数 13.1一致收敛性一点态收敛二函数项级数（或函数序列）的基本问题三函数项级数（或函数列）的一致收敛性四一致收敛性判别五小结 问题的提出问题: （一）函数项级数的一般概念1.定义:一点态收敛现在我们将级数的概念从数推广到函数上去. 2.收敛点与收敛域: 函数项级数的部分和余项(x在收敛域上)注意函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.3.和函数:(定义域是?) 解由达朗贝尔判别法原级数绝对收敛. 原级数发散.收敛;发散; 4.函数项级数与其部分和在本质上是完全一致的。 二函数项级数（或函数序列）的基本问题1.极限运算与无限求和运算交换次序问题 2.求导运算与无限求和运算交换次序问题3.极限运算与无限求和运算交换次序问题 1.函数列及其一致收敛性三函数项级数（或函数列）的一致收敛性 2.函数项级数的一致收敛性定义 xyo几何解释: 例2解余项的绝对值 例3研究级数在区间(0,1]内的一致收敛性.解对于任意一个自然数 因此级数在(0,1)内不一致连续．说明:从下图可以看出:但虽然函数序列在(0,1)内处处在(0,1)内各点处收收敛于敛于零的“快慢”程度是不一致的． (1,1)1小结一致收敛性与所讨论的区间有关． 三一致收敛性判别定理13-1（函数列一致收敛的柯西准则）2.一致收敛的柯西准则1．用定义 由上确界的定义，亦有 定理13-3（函数项级数一致收敛的柯西准则） 定理13.5（Weierstrass判别法）4.一致收敛性简便的判别法： 证 例4证明级数 证（2）由此判别法所得结果是绝对一致收敛的. 5. 五、小结点态收敛函数项级数（或函数序列）的基本问题一致收敛性判别函数项级数（或函数列）的一致收敛性 13.2一致收敛函数列与函数项级数级数的性质一一致收敛函数列的性质二函数项级数的性质 一.一致收敛函数列的解析性质1函数及限与序列极限交换定理 2.连续性定理 估计上式右端三项.由一致收敛,第一、三两项 註定理表明:对于各项都连续且一致收敛即极限次序可换.3.可积性定理 4.可微性定理 （对第二项交换极限与积分次序） 亦即求导运算与极限运算次序可换. 二函数项级数的性质1.逐项求极限定理 2.连续性定理定理13.12证 (1)(2)同样有 (3)由(1)、(2)、(3)可见, 定理13.13(4)3.逐项求积定理 证 根据极限定义，有即 定理13.14(5)4.逐项求导定理 注意:级数一致收敛并不能保证可以逐项求导.例如，级数逐项求导后得级数所以原级数不可以逐项求导． 第十三章习题课一、主要内容二、典型例题 一、函数项级数主要内容(1)定义(2)收敛点与收敛域 (3)和函数 函数项级数的一致收敛性定义 定理　（魏尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法）一致收敛性简便的判别法： 一致收敛级数的基本性质定理1 定理2(4) 定理3(5) 注意:级数一致收敛并不能保证可以逐项求导.例如，级数逐项求导后得级数所以原级数不可以逐项求导． 解由达朗贝尔判别法原级数绝对收敛.二、典型例题 原级数发散.收敛;发散; 例2解余项的绝对值 例3研究级数在区间(0,1]内的一致收敛性.解对于任意一个自然数 因此级数在(0,1)内不一致连续．说明:从下图可以看出:但虽然函数序列在(0,1)内处处在(0,1)内各点处收收敛于敛于零的“快慢”程度是不一致的． 证例4证明级数 例5解两边逐项积分 '