线性代数课件PPT-第2章.矩阵.ppt 158页

'第2章矩阵 2第2章矩阵高斯消元法矩阵的加法、数量乘法、乘法矩阵的转置、对称矩阵可逆矩阵的逆矩阵矩阵的初等变换和初等矩阵分块矩阵 32.1高斯消元法高斯消元法消元法的基本思想是通过变形把方程组化成容易求解的同解方程。在解未知量较多的方程组时，需要使消元步骤规范而又简便。例1：解线性方程组 42.1高斯消元法高斯消元法解：1）将第1个方程乘1/22）将第1个方程乘-2,-3,-5，并分别加到第2,3,4个方程上 52.1高斯消元法高斯消元法3）将第2个方程乘-2，并分别加到第3,4个方程上将第3个方程乘-1，第4个方程乘-1/3，并交换第3,4个方程的位置 62.1高斯消元法高斯消元法此方程组和原方程组是同解的，我们把形如这样的方程称为阶梯线性方程组，因此易得 72.1高斯消元法高斯消元法任意一个线性方程组都可以用高斯消元法将其化为容易求解的、同解的阶梯形线性方程组。所谓消元，就是将元的系数化为0。为了使消元过程书写简便，我们可以把线性方程组 82.1高斯消元法高斯消元法对应的系数按顺序排成一张矩形数表其中aij(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n)表示第i个方程第j个未知变量xj的系数。这样，高斯消元过程就可以在这张数表上进行操作，这张数表就称之为矩阵(matrix)。 92.1高斯消元法矩阵的定义定义：数域F中的m×n个元素aij(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n)排列成m行n列，并括以圆括号（或方括弧）的数表称为数域F中的m×n矩阵，通常用大写字母记做A或Am×n，有时也记做 102.1高斯消元法矩阵的定义其中aij称为矩阵A的第i行第j列元素，当aij∈R(实数域)时，A称为实矩阵；当aij∈C(复数域)时，A称为复矩阵。m×n个元素全为0的矩阵称为零矩阵，记做0。当m=n时，称A为n阶矩阵（或n阶方阵）。数域F上的全体m×n矩阵组成的集合，记做Fm×n或Mm×n(F)；全体n×n实矩阵（或n阶实矩阵）组成的集合，记做Rn×n或Mn(R)。 112.1高斯消元法矩阵的定义线性方程组对应的矩阵称为增广矩阵，记为(A,b)。 122.1高斯消元法矩阵的定义其中由未知元系数排列成的矩阵A称为线性方程组的系数矩阵。 132.1高斯消元法矩阵举例用消元法解线性方程组的消元步骤可以在增广矩阵上实现，下面举例说明例2：求解线性方程组 142.1高斯消元法矩阵举例解：线性方程的增广矩阵为将第1行分别乘以-2,-3,-1，并依次加到第2,3,4行上，消去后三个方程中的x1（此时也消去了x2），得 152.1高斯消元法矩阵举例将第2行乘-2，分别加到第3,4行上，得第4行乘-1/3，并和第3行交换，得 162.1高斯消元法矩阵举例此阶梯形增广矩阵所对应的线性方程组与原线性方程组是同解的，为了在求解时省去回代的步骤，我们把每一行第一个非0元素所在的列的其余元素全化为0，即称为行简化阶梯矩阵，它所对应的线性方程组 172.1高斯消元法矩阵举例与原方程组同解，得 182.1高斯消元法矩阵举例当线性方程组的常数项b1=b2=...=bm=0时，我们称它为齐次线性方程组，否则称为非齐次线性方程组。齐次线性方程组的解法与前面一样。 192.1高斯消元法矩阵举例例3：解线性方程组 202.1高斯消元法矩阵举例解：第3行表示是无解的，故原方程组无解。 212.1高斯消元法矩阵举例这种含有矛盾方程而无解的方程组称为不相容方程组，有解的方程组称为相容方程组。在行简化阶梯矩阵中，全0的行表示的方程称为多余方程；在行简化阶梯矩阵中，如果某行未知量系数全为0，而对应的常数量不为0，则此行表示的方程为矛盾方程。在高斯消元法的消元过程中，在增广矩阵上会清楚地揭示出方程组中的多余方程和矛盾方程。 222.1高斯消元法线性方程组的解对于一般的线性方程组，通过消元步骤，可以将其增广矩阵化为如下所示的行简化阶梯矩阵： 232.1高斯消元法线性方程组的解该行简化阶梯矩阵所对应的线性方程组与原方程组是同解方程组，因此线性方程组有解的充要条件是dr+1=0，在有解的情况下：1）当r=n时，有唯一解 242.1高斯消元法线性方程组的解2）当rj时，aij=0(j=1,...,n-1)的矩阵称为上三角矩阵；当ij时，aik=0(k=1,...,i-1；i>k)，bkj=0(j=i,...,n；k>j)，故因此，当i>j时，恒有cij=0，故C是上三角矩阵。同样可证，两个下三角矩阵的乘积仍是下三角矩阵。 542.2矩阵的加法、数量乘法、乘法线性方程组的矩阵表示定义了矩阵的乘法，我们可以将线性方程组简洁地表示成一个矩阵等式。设线性方程组 552.2矩阵的加法、数量乘法、乘法线性方程组的矩阵表示由于方程组中第i个方程可以表示为因此原线性方程组可以表示成 562.2矩阵的加法、数量乘法、乘法线性方程组的矩阵表示记则并称A为线性方程组的系数矩阵。 572.2矩阵的加法、数量乘法、乘法方阵乘积的行列式定理：设A，B是两个n阶矩阵，则乘积AB的行列式等于A和B的行列式的乘积，即|AB|=|A||B|证： 582.2矩阵的加法、数量乘法、乘法方阵乘积的行列式例5：设计算(detA)2和detA（即|A|2和|A|） 592.2矩阵的加法、数量乘法、乘法方阵乘积的行列式解：注意到A的主对角线两侧的元素是反对称的，将A中行列互换所得矩阵记成AT，即由于|AT|=|A|，所以 602.2矩阵的加法、数量乘法、乘法方阵乘积的行列式因此但因为A的主对角元全是a，行列式|A|中的a4项的符号为+，故 612.2矩阵的加法、数量乘法、乘法方阵乘积的行列式例6：设其中Aij是行列式|A|中元素aij的代数余子式。证明：当|A|≠0时，|A*|=|A|n-1。 622.2矩阵的加法、数量乘法、乘法方阵乘积的行列式证：设其中于是因此由于|A|≠0 632.2矩阵的加法、数量乘法、乘法方阵的幂和方阵的多项式定义：设A是n阶矩阵，k个A的连乘积称为A的k次幂，记作Ak，即由定义可以证明：当m，k为正整数时，有当AB不可交换时，一般情况下，(AB)k≠AkBk；当AB可交换时，(AB)k=AkBk=BkAk，但其逆不真。 642.2矩阵的加法、数量乘法、乘法方阵的幂和方阵的多项式定义：设f(x)=akxk+ak-1xk-1+...+a1x1+a0是x的k次多项式，A是n阶矩阵，则称为矩阵A的k次多项式（注意常数项应变为a0I）。由定义容易证明：若f(x)，g(x)为多项式，A，B皆是n阶矩阵，则 652.2矩阵的加法、数量乘法、乘法方阵的幂和方阵的多项式但当AB不可交换时，一般还要注意：对m×n矩阵A，当m≠n时，A2没有意义。 662.3矩阵的转置、对称矩阵矩阵的转置定义：把一个m×n矩阵的行列互换得到的一个n×m矩阵，称之为A的转置矩阵，记作AT或A’，即 672.3矩阵的转置、对称矩阵矩阵的转置由定义可知，如果记A=(aij)m×n，AT=(ajiT)n×m，则矩阵的转置运算满足以下运算规律： 682.3矩阵的转置、对称矩阵对称矩阵定义：设是一个n阶矩阵，如果aij=aji(i,j=1,2,...,n)，则称A为对阵矩阵；如果aij=－aji(i,j=1,2,...,n)，则称A为反对阵矩阵。对于反对称矩阵A，由于aij=－aji(i,j=1,2,...,n)，所以其主对角元aii全为0。 692.3矩阵的转置、对称矩阵对称矩阵根据定义，容易证明：A为对称矩阵的充要条件是AT=A；A为反对称矩阵的充要条件是AT=－A。 702.3矩阵的转置、对称矩阵对称矩阵例1：设B是一个m×n矩阵，证明则BTB和BBT都是对称矩阵。证： 712.3矩阵的转置、对称矩阵对称矩阵例：设A是n阶反对称矩阵，B是n阶对称矩阵，证明AB+BA是n阶反对称矩阵。证明： 722.3矩阵的转置、对称矩阵对称矩阵必须注意，对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵。容易证明：若A与B均为对称矩阵，则AB对称的充要条件是AB可交换。 732.4可逆矩阵的逆矩阵可逆矩阵与逆矩阵定义：对于矩阵A∈Fn×n，如果存在矩阵B∈Fn×n，使得AB=BA=I就称A为可逆矩阵（简称A可逆），并称B是A的逆矩阵，记作A-1，即A-1=B。由定义可知，可逆矩阵及其逆矩阵是同阶方阵。由于定义中A与B的地位是平等的，所以也可称A是B的逆矩阵。单位矩阵I的逆矩阵是其自身。 742.4可逆矩阵的逆矩阵可逆矩阵与逆矩阵定理：若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的。证明：设B和C都是A的逆矩阵，则由可得故逆矩阵是唯一的。 752.4可逆矩阵的逆矩阵矩阵可逆的条件如果A可逆，则|A||B|=|I|=1，于是|A|≠0，因此|A|≠0是A可逆的必要条件；|A|≠0也是A可逆的充分条件。为了证明这个结论，我们引进A的伴随矩阵(adjointmatrix)的概念。 762.4可逆矩阵的逆矩阵矩阵可逆的条件定义：设n阶矩阵A=(aij)n×n，Aij是行列式detA中元素aij的代数余子式，我们称cofA=(Aij)n×n为A的代数余子式矩阵，并称cofA的转置矩阵为A的伴随矩阵，记作adjA或A*，即 772.4可逆矩阵的逆矩阵矩阵可逆的条件在2.2节中我们已经证明了AA*=|A|I，同理可以证明，A*A=|A|I于是但|A|≠0，故当|A|≠0时，A可逆，且终上所述，我们可以得到下面的定理。 782.4可逆矩阵的逆矩阵矩阵可逆的条件定理：矩阵A可逆的充分必要条件是|A|≠0，且由定理立刻可得，对角阵和上（下）三角阵可逆的充要条件是它们的对角元a11,a22,...,ann全不为0。此定理不仅给出了A可逆的充要条件，而且提供了求A-1的一种方法，后面我们才会介绍另外一种常用的求A-1的方法。 792.4可逆矩阵的逆矩阵矩阵可逆的条件推论：若A，B都是n阶矩阵，且AB=I，则BA=I，即A，B皆可逆，且A，B互为逆矩阵。证：此推论告诉我们，判断B是否为A的逆，只需要验证AB=I或BA=I的一个等式成立即可。 802.4可逆矩阵的逆矩阵可逆矩阵的运算规律可逆矩阵满足以下运算规律（下设同阶方阵A,B皆可逆，数k≠0）： 812.4可逆矩阵的逆矩阵可逆矩阵的运算规律必须注意，A，B皆可逆，A+B不一定可逆。即使A+B可逆，一般的例如：对角阵均可逆，但A+B=diag(3,0)不可逆，而A+C=diag(3,1)可逆。 822.4可逆矩阵的逆矩阵求逆矩阵举例例1：下列矩阵A,B是否可逆？若可逆，求其逆矩阵，其中 832.4可逆矩阵的逆矩阵求逆矩阵举例解：因为|A|=2，故A可逆，A的各元素的代数余子式分别为 842.4可逆矩阵的逆矩阵求逆矩阵举例因为|B|=b1b2b3，所以当b1b2b3≠0时，B可逆，其逆矩阵仍为对角阵，且求逆的运算容易出错，所以求得A-1后，应验证AA-1=I，以保证结果是正确的。 852.4可逆矩阵的逆矩阵求逆矩阵举例例2：设的行列式detA=a11a22－a12a21=d≠0，求其逆矩阵。解： 862.4可逆矩阵的逆矩阵求逆矩阵举例例3：设方阵A满足方程A2－3A－10I=0，证明：A，A－4I都可逆，并求它们的逆矩阵。证明：由方程得故A可逆，且再由方程得故B可逆，且 872.4可逆矩阵的逆矩阵求逆矩阵举例例4：已知非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵A如例1所给，b=[5,1,1]T，问方程组是否有解？如有解，求其解。解：由于A是可逆矩阵，且可逆矩阵是唯一的，因此方程两端都左乘A-1，得即 882.4可逆矩阵的逆矩阵求逆矩阵举例例5：证明，若A是可逆的反对称矩阵，则A-1也是反对称矩阵。证：所以A-1也是反对称矩阵。同理可证，可逆对称矩阵的逆矩阵仍是对称矩阵。 892.4可逆矩阵的逆矩阵综合举例例6：设A=(aij)n×n为非0实矩阵，证明：若A*=AT，则A为可逆矩阵。证：故故A为可逆矩阵。 902.4可逆矩阵的逆矩阵综合举例例7：设A,B,C均为n阶方阵，若ABC=I，则下列乘积：ACB,BAC,BCA,CAB,CBA中哪些必等于单位阵I。解：根据矩阵乘法满足结合律及矩阵可逆条件的推理得：同理可得： 912.4可逆矩阵的逆矩阵综合举例例8：设A可逆，且A*B=A-1+B，证明B可逆，当时，求B。解：由A*B=A-1+B得 922.4可逆矩阵的逆矩阵综合举例于是所以B和A*－I均可逆， 932.4可逆矩阵的逆矩阵综合举例例9：设A,B均为n阶可逆矩阵，证明：1）(AB)*=B*A*2）(A*)*=|A|n-2A证：1）由于|AB|=|A||B|≠0可逆AB也可逆，于是有所以 942.4可逆矩阵的逆矩阵综合举例2）由因为得从而有 952.5矩阵的初等变换和初等矩阵初等变换用高斯消元法解线性方程组，其消元法步骤是对增广矩阵做3类行变换1）以非0常数c乘矩阵的某一行（倍乘变换）2）将矩阵的某一行乘以常数c并加到另一行（倍加变换）3）将矩阵的某两行对换位置（对换变换）这3类行变换统称为矩阵的初等行变换；与之对应的列变换统称为初等列变换；初等行变换和初等列变换统称为初等变换。 962.5矩阵的初等变换和初等矩阵初等变换初等变换在矩阵的理论中具有十分重要的作用。矩阵的初等变换不只是可用语言表述，而且可用矩阵的乘法运算来表示，为此要引入初等矩阵的概念。 972.5矩阵的初等变换和初等矩阵初等矩阵定义：将单位矩阵做一次初等变换所得的矩阵称为初等矩阵。对应于3类初等行、列变换，有3种类型的初等矩阵： 982.5矩阵的初等变换和初等矩阵初等矩阵1）初等倍乘矩阵Ei(c)是由单位矩阵第i行（或列）乘c（c≠0）而得到的。 992.5矩阵的初等变换和初等矩阵初等矩阵2）初等倍加矩阵Eij(c)是由单位矩阵第i行乘c加第j行而得到的，或由第j列乘c加第i列而得到的。i行j行 1002.5矩阵的初等变换和初等矩阵初等矩阵3）初等对换矩阵Eij是由单位矩阵第i，j行（或列）对换而得到的。i行j行 101初等矩阵如果初等矩阵是由单位矩阵做某种行（列）变换所得，那么它左乘一个矩阵A（右乘一个矩阵A）也就是对A做该种行（列）变换。Ei(c)A：表示A的第i行乘cAEi(c)：表示A的第i列乘cEij(c)A：表示A的第i行乘c加至第j行AEij(c)：表示A的第j列乘c加至第i列EijA：表示A的第i行与第j行对换位置AEij：表示A的第i列与第j列对换位置2.5矩阵的初等变换和初等矩阵 1022.5矩阵的初等变换和初等矩阵初等矩阵例1： 1032.5矩阵的初等变换和初等矩阵初等矩阵 1042.5矩阵的初等变换和初等矩阵初等矩阵 1052.5矩阵的初等变换和初等矩阵初等矩阵初等矩阵的行列式都不等于0，因此初等矩阵都是可逆矩阵。对初等矩阵再做一次适当的同类初等变换就化为单位矩阵，如所以，初等矩阵的逆矩阵是同类初等矩阵，即 1062.5矩阵的初等变换和初等矩阵初等矩阵运算举例例2：设初等矩阵试求P1P2P3及(P1P2P3)-1。 1072.5矩阵的初等变换和初等矩阵初等矩阵运算举例解：P2左乘P3表示对P3做倍加行变换，P1左乘P2P3，表示对P2P3做对换行变换，于是可得 1082.5矩阵的初等变换和初等矩阵初等矩阵运算举例 1092.5矩阵的初等变换和初等矩阵初等矩阵运算举例例3：将三对角矩阵分解成主对角元为1的下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积，即A=LU（称为矩阵的LU分解）。 1102.5矩阵的初等变换和初等矩阵初等矩阵运算举例解：由于倍加初等矩阵及其逆矩阵都是主对角元为1的同类型三角阵，因此如能通过倍加行变换将A的主对角线以下元素消为0（此时倍加行变换对应的初等矩阵是主对角元为1的下三角矩阵），就可将A分解为LU，具体作法如下： 1112.5矩阵的初等变换和初等矩阵初等矩阵运算举例 1122.5矩阵的初等变换和初等矩阵初等矩阵运算举例将上面三个式子中的左端的矩阵分别记作L1,L2,L3，则故其中 1132.5矩阵的初等变换和初等矩阵初等变换求逆矩阵定理：可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵。证：高斯消元法的过程是对线性方程组的增广矩阵做3类初等行变换，并一定可以将其化为行简化阶梯型矩阵。因此，对任何矩阵A，都可以经初等行变换将其化为行简化阶梯形矩阵，即存在初等矩阵P1,P2,...,Ps使Ps...P2P1A=U当A为n阶可逆矩阵时，行简化阶梯矩阵也是可逆矩阵（因为初等矩阵都可逆），从而U必是单位矩阵I（思考：为什么？）。 1142.5矩阵的初等变换和初等矩阵初等变换求逆矩阵推论1：可逆矩阵A可以表示为若干个初等矩阵的乘积。证：根据前面的定理，存在初等矩阵P1,P2,...,Ps使得Ps...P2P1A=I所以A=(Ps...P2P1)-1=P1-1P2-1...Ps-1其中P1-1,P2-1,...,Ps-1仍是初等矩阵，推论得证。同时可得：A-1=Ps...P2P1=Ps...P2P1I 1152.5矩阵的初等变换和初等矩阵初等变换求逆矩阵推论2：如果对可逆矩阵A和同阶单位阵I做同样的初等行变换，那么当A变为单位阵时，I就变为A-1，即 1162.5矩阵的初等变换和初等矩阵初等变换求逆矩阵又因为因此，同样可以用初等列变换求逆矩阵，即 1172.5矩阵的初等变换和初等矩阵初等变换求逆矩阵举例例4：用初等行变换求矩阵的逆矩阵。 1182.5矩阵的初等变换和初等矩阵初等变换求逆矩阵举例解： 1192.5矩阵的初等变换和初等矩阵初等变换求逆矩阵举例所以 1202.5矩阵的初等变换和初等矩阵初等变换求逆矩阵举例例5：已知ABAT=2BAT+I，求B。其中 1212.5矩阵的初等变换和初等矩阵初等变换求逆矩阵举例解：由题意用两种求逆方法都易得 1222.5矩阵的初等变换和初等矩阵初等变换求逆矩阵举例必须注意，用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵时，必须始终做行变换，其间不能做任何列变换。如果做初等行变换时，出现全0行，则其行列式等于0，因此矩阵是不可逆的。 1232.5矩阵的初等变换和初等矩阵初等变换求逆矩阵举例例6：当a,b满足什么条件时，矩阵A不可逆，其中 1242.5矩阵的初等变换和初等矩阵初等变换求逆矩阵举例解题思路：对A做初等行、列变换将其化为阶梯矩阵，由|A|=0可得a,b应满足的条件。（思考：此处为什么可以做行、列变换？和前面必须注意的地方矛盾吗？）为简单起见，应尽量将a,b置于A的右下方（思考：为什么？）。 1252.5矩阵的初等变换和初等矩阵初等变换求逆矩阵举例解： 1262.5矩阵的初等变换和初等矩阵初等变换求逆矩阵举例因此矩阵不可逆的充要条件是即a=1或b=2。 1272.6分块矩阵分块矩阵把一个大型的矩阵分成若干小块，构成一个分块矩阵，这是矩阵运算中的一个重要技巧，它可以把大型矩阵的运算化为若干小型矩阵的运算，使运算更为简明。 1282.6分块矩阵分块矩阵把一个m×n矩阵A，在行的方向分成s块，在列的方向分成t块，称为A的s×t分块矩阵，记作A=(Akl)s×t，其中Akl(k=1,2,...,s;l=1,2,...,t)称为A的子块，它们可以是各种类型的小矩阵。 1292.6分块矩阵分块矩阵例如把一个5阶矩阵用水平和垂直的虚线分成4块，如果记 1302.6分块矩阵分块矩阵并称它是A的一个2×2分块矩阵，其中的每一个小矩阵称为A的一个子块。 1312.6分块矩阵分块矩阵常用的分块矩阵，除了2×2分块矩阵，还有以下几种形式：1）按行分块其中ai=(ai1,ai2,...,ain)，i=1,2,...,m。 1322.6分块矩阵分块矩阵2）按列分块其中bi=(b1j,b2j,...,bnj)，j=1,2,...,s。 1332.6分块矩阵分块矩阵当n阶矩阵C中非0元素都集中在主对角线附近，有时可以分块成下面的对角块矩阵（又称准对角矩阵） 1342.6分块矩阵分块矩阵其中 1352.6分块矩阵分块矩阵的运算1）分块矩阵的加法2）分块矩阵的数量乘法3）分块矩阵的乘法4）分块矩阵的转置5）可逆分块矩阵的逆矩阵 1362.6分块矩阵分块矩阵的加法设分块矩阵A=(Akl)s×t，B=(Bkl)s×t，如果A与B对应的子块Akl和Bkl都是同型矩阵，则例如其中A11与B11，A12与B12，A21与B21，A22与B22分别都是同型小矩阵（子块）。 1372.6分块矩阵分块矩阵的数量乘法设分块矩阵A=(Akl)s×t，λ是一个数，则 1382.6分块矩阵分块矩阵的乘法设A∈Fm×n，B∈Fn×p，如果A分块为r×s的分块矩阵(Akl)r×s，B分块为s×t的分块矩阵(Bkl)s×t，且A的列的分块法和B的行的分块法完全相同，则其中C是r×t分块矩阵，且j1列j2列js列...j1行j2行js行... 1392.6分块矩阵分块矩阵的乘法可以证明（但略去），用分块乘法求得的AB与不分块作乘法求得的AB是相等的。A的列的分块法和B的行的分块法完全相同才能保证子块矩阵可以相乘。 1402.6分块矩阵分块矩阵的乘法例1：将下列5阶矩阵A，B分成2×2的分块矩阵，并用分块矩阵的乘法计算AB。 1412.6分块矩阵分块矩阵的乘法解：由观察，可将A分成如下4个子块根据分块矩阵乘法的要求，B的行的分法应该和A的列的分法一致，而列可以任分，为计算方便可将B分块如下： 1422.6分块矩阵分块矩阵的乘法故其中 1432.6分块矩阵分块矩阵的乘法故 1442.6分块矩阵分块矩阵的乘法例2：设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，B按列分块成1×s分块矩阵，将A看成1×1分块矩阵，则若已知AB=0（m×s零矩阵），则显然有Abj=0（m×1零矩阵），j=1,2,...,s。因此，B的每一列bj都是线性方程组Ax=0的解。 1452.6分块矩阵分块矩阵的乘法例3：若n阶矩阵C,D可以分块成同型对角块矩阵，即其中Ci和Di是同阶方阵（i=1,2,...,m），则 1462.6分块矩阵分块矩阵的乘法矩阵的分块乘法，在以后证明一些重要的命题时，起着重要的作用，下面看一个例子。 1472.6分块矩阵分块矩阵的乘法例4：证明：若n阶上三角矩阵A可逆，则其逆矩阵A-1也是上三角矩阵。证：对n做数学归纳法：1）n=1时，(a)-1=(1/a)，结论成立（一阶矩阵可以认为是上/下三角矩阵，对角矩阵，对称矩阵）。2）假设命题对n-1阶可逆上三角矩阵成立3）对于n阶可逆上三角矩阵，设 1482.6分块矩阵分块矩阵的乘法其中A1是n-1阶可逆的上三角矩阵，设A的逆矩阵为 1492.6分块矩阵分块矩阵的乘法则即于是根据归纳假设，B1是n-1阶上三角矩阵，因此 1502.6分块矩阵分块矩阵的乘法 1512.6分块矩阵分块矩阵的转置分块矩阵A=(Akl)s×t的转置矩阵为其中Blk=AklT，l=1,2,...,t；k=1,2,...,s。 1522.6分块矩阵分块矩阵的转置例如则 1532.6分块矩阵分块矩阵的转置则 1542.6分块矩阵可逆分块矩阵的逆矩阵对角块矩阵（准对角矩阵）的行列式为|A|=|A1||A2|…|Am|，因此，对角块矩阵A可逆的充要条件为 1552.6分块矩阵可逆分块矩阵的逆矩阵根据对角块矩阵的乘法，容易求得它的逆矩阵用分块矩阵求逆矩阵，可以将高阶矩阵的求逆转化为低阶矩阵的求逆。一个2×2的分块矩阵求逆，可以根据逆矩阵的定义，用解矩阵方程的办法解得。 1562.6分块矩阵可逆分块矩阵的逆矩阵例5：设其中B,D皆为可逆方阵，证明A可逆并求A-1。 1572.6分块矩阵可逆分块矩阵的逆矩阵解：|A|=|B||D|≠0，所以A可逆，设其中X与B，T与D分别是同阶方阵，于是由得 1582.6分块矩阵可逆分块矩阵的逆矩阵所以'