高等数学课件PPT1.ppt 305页

'第一章 一、基本概念1.集合:具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.有限集无限集 数集分类:N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集数集间的关系:例如不含任何元素的集合称为空集.例如,规定空集为任何集合的子集. 2.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.称为开区间,称为闭区间, 称为半开区间,称为半开区间,有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度. 3.邻域: 4.常量与变量:在某过程中数值保持不变的量称为常量,注意常量与变量是相对“过程”而言的.通常用字母a,b,c等表示常量,而数值变化的量称为变量.常量与变量的表示方法：用字母x,y,t等表示变量. 5.绝对值:运算性质:绝对值不等式: 二、函数概念例圆内接正多边形的周长圆内接正n边形Or) 因变量自变量数集D叫做这个函数的定义域 自变量因变量对应法则f函数的两要素:定义域与对应法则.约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值. 定义:如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数． (1)符号函数几个特殊的函数举例1-1xyo (2)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线 在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数. 例1脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压U与时间的函数关系式.解单三角脉冲信号的电压 例2解故 三、函数的特性M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX1．函数的有界性: 2．函数的单调性:xyo xyo 3．函数的奇偶性:偶函数yxox-x 奇函数yxox-x 4．函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）. 四、反函数DWDW 直接函数与反函数的图形关于直线对称. 例3解单值函数,有界函数,偶函数,周期函数(无最小正周期)不是单调函数, 五、小结基本概念集合,区间,邻域,常量与变量,绝对值.函数的概念函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性.反函数 思考题 思考题解答设则故 练习题 练习题答案 一、基本初等函数1.幂函数 2.指数函数 3.对数函数 4.三角函数正弦函数 余弦函数 正切函数 余切函数 正割函数 余割函数 5.反三角函数 幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数. 二、复合函数初等函数1.复合函数定义: 注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.2.初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数. 四、小结函数的分类:函数初等函数非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)代数函数超越函数有理函数无理函数有理整函数(多项式函数)有理分函数(分式函数) 思考题 思考题解答不能． 一、填空题:练习题 练习题答案 一、基本初等函数1.幂函数 2.指数函数 3.对数函数 4.三角函数正弦函数 余弦函数 正切函数 余切函数 正割函数 余割函数 5.反三角函数 幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数. 二、复合函数初等函数1.复合函数定义: 注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.2.初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数. 四、小结函数的分类:函数初等函数非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)代数函数超越函数有理函数无理函数有理整函数(多项式函数)有理分函数(分式函数) 思考题 思考题解答不能． 一、填空题:练习题 练习题答案 播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限 通过上面演示实验的观察:问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”. 2.另两种情形: 3.几何解释: 例1证 二、自变量趋向有限值时函数的极限 2.几何解释:注意： 例2证例3证 例4证函数在点x=1处没有定义. 例5证 3.单侧极限:例如, 左极限右极限 左右极限存在但不相等,例6证 三、函数极限的性质1.有界性2.唯一性 推论3.不等式性质定理(保序性) 定理(保号性)推论 例如,函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等. 例7证 二者不相等, 四、小结函数极限的统一定义(见下表) 过程时刻从此时刻以后过程时刻从此时刻以后 思考题 思考题解答左极限存在,右极限存在,不存在. 一、填空题:练习题 练习题答案 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 一、无穷小1.定义:极限为零的变量称为无穷小. 例如,注意1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数. 2.无穷小与函数极限的关系:证必要性充分性 意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);3.无穷小的运算性质:定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.证 注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证 推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小 二、无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大. 特殊情形：正无穷大，负无穷大．注意1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大. 不是无穷大．无界， 证 三、无穷小与无穷大的关系定理4在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.证 意义关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论. 四、小结1、主要内容:两个定义;四个定理;三个推论.2、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3）无界变量未必是无穷大. 思考题 思考题解答不能保证.例有 一、填空题:练习题 练习题答案 一、极限运算法则定理证由无穷小运算法则,得 推论1常数因子可以提到极限记号外面.推论2有界， 二、求极限方法举例例1解 小结: 解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得例2 解例3(消去零因子法) 例4解(无穷小因子分出法) 小结:无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限. 例5解先变形再求极限. 例6解 例7解左右极限存在且相等, 三、小结1.极限的四则运算法则及其推论;2.极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限. 思考题在某个过程中，若有极限，无极限，那么是否有极限？为什么？ 思考题解答没有极限．假设有极限，有极限，由极限运算法则可知：必有极限，与已知矛盾，故假设错误． 一、填空题:练习题 二、求下列各极限: 练习题答案 一、极限存在准则1.夹逼准则证 上两式同时成立,上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限 注意:准则Ι和准则Ι"称为夹逼准则. 例1解由夹逼定理得 2.单调有界准则单调增加单调减少单调数列几何解释: 例2证(舍去) 二、两个重要极限(1) 例3解 (2)定义 类似地, 例4解例5解 三、小结1.两个准则2.两个重要极限夹逼准则;单调有界准则. 思考题求极限 思考题解答 一、填空题:练习题 二、求下列各极限: 练习题答案 一、无穷小的比较例如,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.不可比.观察各极限 定义: 例1解例2解 常用等价无穷小:用等价无穷小可给出函数的近似表达式:例如, 二、等价无穷小替换定理(等价无穷小替换定理)证 例3解不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换.注意 例4解解错 例5解 三、小结1.无穷小的比较:反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.2.等价无穷小的替换:求极限的又一种方法,注意适用条件.高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶. 思考题任何两个无穷小量都可以比较吗？ 思考题解答不能．例当时都是无穷小量但不存在且不为无穷大故当时 练习题 练习题答案 一、函数的连续性1.函数的增量 2.连续的定义 例1证由定义2知 3.单侧连续定理 例2解右连续但不左连续, 4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如, 例3证 二、函数的间断点 1.跳跃间断点例4解 2.可去间断点例5 解注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点. 如例5中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点 3.第二类间断点例6解 例7解注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点. 狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.仅在x=0处连续,其余各点处处间断.★★ 在定义域R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.★判断下列间断点类型: 例8解 三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点(见下图) 可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyxoyx 思考题 思考题解答且 但反之不成立.例但 练习题 练习题答案 一、四则运算的连续性定理1例如, 二、反函数与复合函数的连续性定理2严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.例如,反三角函数在其定义域内皆连续. 定理3证 将上两步合起来: 意义1.极限符号可以与函数符号互换;例1解 例2解同理可得 定理4注意定理4是定理3的特殊情况.例如, 三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.★★★ 定理5基本初等函数在定义域内是连续的.★(均在其定义域内连续)定理6一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间. 1.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;例如,这些孤立点的邻域内没有定义.在0点的邻域内没有定义.注意注意2.初等函数求极限的方法代入法. 例3例4解解 四、小结连续函数的和差积商的连续性.复合函数的连续性.初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法.两个定理;两点意义.反函数的连续性. 思考题 思考题解答是它的可去间断点 练习题 练习题答案 一、最大值和最小值定理定义:例如, 定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立. 定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.证 二、介值定理定义: 几何解释: 几何解释:MBCAmab证由零点定理, 推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.例1证由零点定理, 例2证由零点定理, 三、小结四个定理有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.注意1．闭区间；2．连续函数．这两点不满足上述定理不一定成立．解题思路1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理; 思考题下述命题是否正确？ 思考题解答不正确.例函数 练习题 （一）函数的定义（二）极限的概念（三）连续的概念一、主要内容第一章习题课 函数的定义反函数隐函数反函数与直接函数之间关系基本初等函数复合函数初等函数函数的性质单值与多值奇偶性单调性有界性周期性双曲函数与反双曲函数 1、函数的定义 函数的分类函数初等函数非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)代数函数超越函数有理函数无理函数有理整函数(多项式函数)有理分函数(分式函数) (1)单值性与多值性:2、函数的性质 (2)函数的奇偶性:偶函数奇函数yxo (3)函数的单调性:设函数f(x)的定义域为D，区间ID，如果对于区间I上任意两点及，当时，恒有：(1),则称函数在区间I上是单调增加的；或(2),则称函数在区间I上是单调递减的；单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。 (4)函数的有界性: 设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个不为零的数l,使得对于任一,有.且f(x+l)=f(x)恒成立,则称f(x)为周期函数,l称为f(x)的周期.（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.(5)函数的周期性:oyx 3、反函数4、隐函数 5、反函数与直接函数之间的关系 6、基本初等函数1）幂函数2）指数函数3）对数函数4）三角函数5）反三角函数 7、复合函数8、初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数. 9、双曲函数与反双曲函数双曲函数常用公式 左右极限两个重要极限求极限的常用方法无穷小的性质极限存在的充要条件判定极限存在的准则无穷小的比较极限的性质数列极限函数极限等价无穷小及其性质唯一性无穷小两者的关系无穷大 1、极限的定义 左极限右极限 无穷小:极限为零的变量称为无穷小.绝对值无限增大的变量称为无穷大.无穷大:在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.无穷小与无穷大的关系2、无穷小与无穷大 定理1在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.无穷小的运算性质 定理推论1推论23、极限的性质 4、求极限的常用方法a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限. 5、判定极限存在的准则(夹逼准则) (1)(2)6、两个重要极限 定义:7、无穷小的比较 定理(等价无穷小替换定理)8、等价无穷小的性质9、极限的唯一性 左右连续在区间[a,b]上连续连续函数的性质初等函数的连续性间断点定义连续定义连续的充要条件连续函数的运算性质非初等函数的连续性振荡间断点无穷间断点跳跃间断点可去间断点第一类第二类 1、连续的定义 定理3、连续的充要条件2、单侧连续 4、间断点的定义 (1)跳跃间断点(2)可去间断点5、间断点的分类 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点:可去型第一类间断点跳跃型0yx0yx 0yx无穷型振荡型第二类间断点0yx第二类间断点 6、闭区间的连续性7、连续性的运算性质定理 定理1严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.定理28、初等函数的连续性定理3 定理4基本初等函数在定义域内是连续的.定理5一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.9、闭区间上连续函数的性质定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值. 定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界. 推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值. 二、典型例题例1解 例2解利用函数表示法的无关特性代入原方程得代入上式得 解联立方程组 例3解将分子、分母同乘以因子(1-x),则 例4解解法讨论 例5解 例6解 例7证明讨论: 由零点定理知,综上, 测验题 测验题答案 '