华东理工高等数学(上)11学分课件PPT-2.2.2-3函数极限定义性质.ppt 24页

'2.2.2函数极限的定义A.自变量趋于有限值时函数的极限表示当时，这只是一个定性的描述，那么如何定量和准确的描述极限的定义？例如表示“当x无限趋近于1时,也就是“只要x充分接近于1,对应的函数值(x+1),就无限(任意)接近于2”。无限趋近于2”,自变量变化过程的六种形式:1 用数学语言可表述为：O1xy=x+1(x1)2y任取正数,总存在正数,当0<|x1|<时,恒有:例如,若取=0.020,要使故可取==0.020，则当0|x1|时,2 定义则称A为函数f(x)当xx0时的极限,记作:或f(x)A,(当xx0)。3 的几何解释:注意:在极限的定义中,只要求当0|xx0|时,有|f(x)A|成立.4 例.证5 例.证明:6 证明:7 例.证8 B.单侧极限:例如,9 左极限右极限10 例.证明:证明:11 12 13 14 C.自变量趋于无穷大时函数的极限定义设函数f(x)在|x|a(a0)上有定义,如果存在常数A,使对任意给定的正数,总存在正数X,当|x|X,有:|f(x)A|成立,则称A为函数f(x)在x时的极限,或函数f(x)当x时收敛于A.yOx15 另两种情形:16 的几何解释:17 例.证18 例.证明:分析:证明：0,19 2.2.3极限的性质 定理6(局部有界性定理)证明:Ay=f(x)yxOA+Ax0则f(x)在点x0的某去心邻域内有界。取=1,则0,当0|xx0|时,必有:|f(x)A|=1成立从而,|f(x)|=|f(x)A+A||f(x)A|+|A|+|A|=1+|A|,取M=1+|A|,则,当0|xx0|时,必有:|f(x)|M成立。即,存在常数M0及0,使当0|xx0|时,有：|f(x)|M成立。如果 定理7(局部保序性定理)证明:Ox0x0x0+xAB(A+B)/2y=f(x)y=g(x)y对相同的,则20,当0|xx0|2时,必有:|g(x)B|成立,故g(x)B+=(A+B)/2,现取=min{1,2},则当0|xx0|时,有,f(x)(A+B)/2g(x)#则10,当0|xx0|1时,必有:|f(x)A|成立,故f(x)A=(A+B)/2,且AB,则存在0,使当0|xx0|时,有:f(x)g(x)。如果 推论1(局部保号性定理)证明：利用定理7的结论,取g(x)=0即得推论1。也可仿照定理7的方法来证明。且A0(或A0),则存在0,使当0|xx0|时,有:f(x)0(或f(x)0).推论2证明：利用定理7,用反证法即得.且在点x0的某去心邻域内恒有:f(x)0(或f(x)0),则A0(或A0). 注意:说明：定理4,5,6及推论所论极限,在自变量x的其它变化趋势的情形下,即:xx0,xx0+,x,x+,x,都有类似的结论。'