最新弹性与塑性力学基础-第四章广义虎克定律和弹性力学解题课件PPT.ppt 115页

'弹性与塑性力学基础-第四章广义虎克定律和弹性力学解题 §4-1广义胡克定律4.1.1应力与应变关系的提出4.1.2胡克定律4.1.3泊松比4.1.4广义胡克定律§4-2基本方程4.2.1弹性阶段本构关系4.2.2平衡方程4.2.3几何方程4.2.4本构方程§4-3边界条件4.3.1边界问题类型4.3.2位移边界问题4.3.3应力边界问题4.3.4混合边界问题弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法2 §4-4按位移求解弹性力学问题§4-5按应力求解弹性力学问题§4-6平面问题和应力函数§4-7圣维南原理§4-8叠加原理§4-9悬臂梁受均匀分布载荷作用§4-10简支梁受均匀分布载荷作用§4-11具有小圆孔的平板的均匀拉伸§4-12位错引起的应力与弹性应变能3 §4-1广义胡克定律2、平面应力状态:由于应力x的作用：x方向应变为y方向应变为由于应力y的作用：y方向应变为x方向应变为弹性与塑性力学基础同时有x和y作用在x方向及y方向的应变为(4-3)平面应力时的胡克定律第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法7 §4-1广义胡克定律2、平面应力状态：在x和y作用下，z方向的应变εz=-μ(x＋y)/E在剪应力作用下，X-Y平面内的剪应变与纯剪时相同，即：式中，为剪切弹性模量弹性与塑性力学基础纯剪应力状态第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法8 §4-1广义胡克定律4.1.3广义胡克定律用相同的方法，可以导出三维应力状态下的各向同性均匀材料的广义胡克定律，其形式为：(4-4)（各向同性均匀材料的含义，即材料内部各处的不同方向具有相同的μ、E、G值）弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法9 §4-1广义胡克定律4.1.4广义胡克定律的不同形式将式(4-4)的前三式左右两边相加后，则有如令则上式可写为或(4-5)(4-5)表明：弹性变形时，体积变化与三个正应力之和即应力张量的球张量成正比，而与应力偏量无关。弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法10 §4-1广义胡克定律4.1.4广义胡克定律的不同形式引入以上表达式后，广义胡克定律又可写为：(4-6)弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法11 §4-1广义胡克定律4.1.4广义胡克定律的不同形式由式(4-6)及式(4-5)，可得即：式中：ex=x-0为应变偏量分量，为应力偏量分量。用相同的方法，可得：弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法12 §4-1广义胡克定律4.1.4广义胡克定律的不同形式因此，弹性阶段应力莫尔圆和应变莫尔圆是成比例的，因为：(4-7)弹性阶段应力主轴和应变主轴重合（注意：应力或应变球张量对应力主轴或应变主轴无影响）弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法13 §4-1广义胡克定律4.1.3广义胡克定律的不同形式各向同性体的胡克定律(4-4)是以应力表示应变，在求解某些问题时，有时需要用应变表示应力关系。将式(4-4)第一式作如下改变即得式(4-6)的第一式利用式(4-5)将其代入式(4-6)便可得由上式可得弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法14 §4-1广义胡克定律4.1.3广义胡克定律的不同形式如引用=并注意到则有用相同的方法可以求出其他的关系式，归纳如下(4-8)称为拉梅(Lamé)弹性常数。用体积应变表示应力时则有(4-9)如令，则式(4-9)可写成(K—体积弹性模量)(4-9")弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法15 §4-2基本方程4.2.1平衡方程（3个方程）(4-10)或(4-10")弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法16 §4-2基本方程4.2.2几何方程（应变－位移关系，6个方程）(4-11)或(4-11")弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法17 §4-2基本方程4.2.2几何方程由应变位移关系导出的应变协调方程：(4-12)弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法18 §4-2基本方程4.2.3本构方程弹性阶段本构关系为广义胡克定律(4-13)或(4-13")弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法19 §4-2基本方程4.2.3本构方程如用应变表示应力，则有(4-14)或(4-14")弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法20 §4-3边界条件解弹性力学问题时，除利用上述方程外，还应针对具体问题给出弹性体表面上的边界条件作为补充条件，方可求出定解。4.3.1边界问题类型三类：位移边界问题；应力边界问题；混合边界问题1、位移边界问题物体在全部边界上位移分量已知。如平面问题位移边界条件为：其中，us和vs是位移的边界值，和在边界上是坐标的已知函数2、应力边界问题物体在全部边界上所受的面力是已知的，面力分量在边界上是坐标已知函数。把面力已知的条件转换成为应力方面的已知条件，即为应力边界条件。弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法21 §4-3边界条件2、应力边界问题（平面问题）由平衡微分方程采用的正平行六面体，到物体的边界上，将成为三角形或三棱柱(它的斜面AB与物体的边界重合).平面问题如图所示，用N代表边界面AB的外法线方向，并令N的方向余弦为几何尺寸：设边界面AB的长度为dS，则有：PA＝ldS，PB＝mdS。垂直于XOY面方向的尺寸仍取一个单位弹性与塑性力学基础受力平衡图第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法22 §4-3边界条件2、应力边界问题（平面问题）由平衡条件FX=0得除以dS，略去含dS2的高阶微量项，得其中(X)s和(yx)s是应力分量边界值,由FY=0，可得另一相似方程。边界各点应力分量与面力分量关系(4-16)(4-16)式即为平面问题应力边界条件弹性与塑性力学基础受力平衡图第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法23 §4-3边界条件2、应力边界问题（平面问题）考虑第三个平衡条件M=0，有特例：垂直于x轴的边界上，l=1，m＝0，应力边界条件简化为垂直于y轴的边界上，l=0，m=1，应力边界条件简化为即：应力分量边界值等于对应面力分量弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法受力平衡图24 §4-3边界条件2、应力边界问题注意:(1)垂直于x轴边界上应力边界条件中并没有y(2)垂直于y轴边界上应力边界条件中并没有x由此可见，平行于边界的正应力，其边界值与面力分量并不直接相关。弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法受力平衡图25 §4-3边界条件3、混合边界问题部分边界具有位移边界条件，部分边界则具有应力边界条件.混合边界条件：同时存在位移边界条件和应力边界条件弹性与塑性力学基础混合边界问题实例：(a)连杆支承边(⊥x轴)(b)齿槽边界(⊥x轴)第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法26 §4-3边界条件垂直于x轴的边界（l=1,m=0）是连杆支承边(图a)x方向：位移边界条件：y方向：应力边界条件：垂直于x轴边界是齿槽边(图b)x方向：应力边界条件：y方向：位移边界条件：弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法27 §4-4按位移求解弹性力学问题弹性力学问题的求解方法：(a)位移法；(b)应力法。位移法：取位移分量为基本未知变量，利用基本方程和边界条件，求解弹性力学问题。应力法：取应力分量为基本未知变量，利用基本方程和边界条件，求解弹性力学问题。☼位移法求解弹性力学问题的基本步骤①利用几何方程用位移表示应变②代入本构方程，得到用位移表示的应力分量③代入平衡微分方程，得出关于位移的方程式④利用边界条件，求解关于位移分量的方程组，得出位移分量⑤代入几何方程，求出应变分量⑥代入本构方程，求出应力分量。弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法28 §4-4按位移求解弹性力学问题☼位移法求解弹性力学问题的基本过程（即用位移表示的应力分量）①用位移表示应变的几何方程：②用应变表示应力的本构方程：弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法29 §4-4按位移求解弹性力学问题☼位移法求解弹性力学问题的基本过程①代入②，得：（A，4-17）弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法用位移表示的应力分量30 §4-4按位移求解弹性力学问题☼位移法求解弹性力学问题的基本过程将(A)式表示的各应力分量代入平衡微分方程，由第1式，得：弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法31 §4-4按位移求解弹性力学问题☼位移法求解弹性力学问题的基本过程因为，所以，上式可变为：(B-1)(B-1)式中：▽2称为拉普拉斯算子，θ为体积应变，弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法32 §4-4按位移求解弹性力学问题☼位移法求解弹性力学问题的基本过程用同样的方法，可得另外两相似的表达式。因此，有：(B1)(B2)（4-18）(B3)至此，15个基本方程均已被利用1次，得到了关于位移分量的3个方程式(B1-B3)。再利用边界条件，即可由求解出位移分量u,v,w。弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法用位移表示的平衡微分方程，即拉梅位移方程33 §4-4按位移求解弹性力学问题☼位移法求解弹性力学问题的基本过程边界条件的应用：1、若边界条件为位移边界条件，即已知物体表面的位移，则由方程B1-B3和直接应用边界条件，即可求解出u,v,w。2、若在物体表面给定的是面力条件，即为应力边界条件时，则必须进行适当变换，即利用胡克定律(应变表示应力的形式)和应力边界条件表达式，将物体表面的面力条件与位移分量的边界值联系起来。由：①胡克定律②应力边界条件①③几何方程弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法34 §4-4按位移求解弹性力学问题☼位移法求解弹性力学问题的基本过程②③弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法35 §4-4按位移求解弹性力学问题☼位移法求解弹性力学问题的基本过程可得：（4-20）由上述边界条件和方程B1-B3，即可求解出u,v,w,求出6个应变分量求出6个应力分量。弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法36 弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法例：设有半空间体（如图所示），单位体积的质量为ρ，在水平边界面上受均布压力q的作用，试用位移法求位移分量和应力分量，并假设在z=h处w=0。解：由于载荷和弹性体对z轴对称，并且是半空间体，可以假设u=0，v=0，w=w(z)，因此体积应变为37 弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法将以上各式代入拉梅位移方程（即式4-18）得到，Kx=0；Ky=0；将Kz=ρg代入上式，得到积分上式，则得(II)在边界上，l=m=0，n=-1，Sx=Sy=0，Sz=q，将其代入式（4-20）可知，前两式为恒等式，第三式为(I)38 弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法上式化简后得到：对式(II)中w求导，当z=0时，其值应与上式相等，得到由此得到将给定条件(w)z=h=0，代入(I)中得到，将常数A、B代入式(II)中，得到位移分量为(III)39 弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法将式(III)代入式（4-17），得到应力分量为(IV)40 §4-5按应力求解弹性力学问题☼应力法求解弹性力学问题的基本过程弹性与塑性力学基础①利用广义胡克定律，得到用应力分量表示的协调条件；②将平衡微分方程代入协调条件，化简方程组，得出满足平衡微分方程的协调条件；③利用边界条件，求解关于应力分量的方程组，得出各应力量；④利用广义胡克定律，求各应变分量；⑤代入几何方程，求位移变分量；第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法41 §4-5按应力求解弹性力学问题☼应力法求解弹性力学问题的基本过程弹性与塑性力学基础①利用广义胡克定律，消去协调条件中的应变分量：用应变分量表示的协调条件第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法42 §4-5按应力求解弹性力学问题☼应力法求解弹性力学问题的基本过程弹性与塑性力学基础用应力分量表示的协调条件（4-21）第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法43 §4-5按应力求解弹性力学问题☼应力法求解弹性力学问题的基本过程弹性与塑性力学基础②将（4-21）中的第一式与第三式相加，利用平衡微分方程，可得：即：第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法44 §4-5按应力求解弹性力学问题☼应力法求解弹性力学问题的基本过程弹性与塑性力学基础用同样的方法，可得：即有：（4-22）第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法45 §4-5按应力求解弹性力学问题☼应力法求解弹性力学问题的基本过程弹性与塑性力学基础将（4-22）中三式相加，得：（4-23）再将（4-23）中的代入（4-22），可得：用同样的方法，可得另外两个类似的方程：（4-24）-A第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法46 §4-5按应力求解弹性力学问题☼应力法求解弹性力学问题的基本过程弹性与塑性力学基础利用平衡微分方程，将（4-21）中的第四式变为如下形式：整理化简后，得：用同样的方法，可得另外两个类似的方程。（4-24）-B第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法47 §4-5按应力求解弹性力学问题☼应力法求解弹性力学问题的基本过程弹性与塑性力学基础因此，利用平衡微分方程，可将用应力分量表示的变形协调条件变为：（4-24）第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法相容方程48 弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法当体积力为零或常量时，则方程式(4-24)可以化简为（4-25）拜尔特拉米-密乞尔方程(Beltrami-Michell)49 弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法根据式（4-23）可知，在体积力为零或常数时，所以，应力第一不变量Θ是调和函数50 §4-5按应力求解弹性力学问题☼应力法求解弹性力学问题的基本过程弹性与塑性力学基础③利用边界条件，求解方程组(4-24)，得出各应力量；④利用广义胡克定律，求各应变分量；⑤利用几何方程，求位移变分量；第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法51 弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法按应力求解弹性力学问题时，除了满足上述条件外，还必须注意位移单值性问题。单连体：只具有一个连续边界的物体（内部无洞的物体）。或者，该物体内任意一条简单闭曲线可以收缩到一点，而不越出物体所在区域。在满足相容方程和应力边界条件时，其应力分量就可完全确定。多连体：内部有洞的物体。除了满足单连体的所有方程外，还要满足位移的单值性条件，才可完全确定应力分量。解题时，可用一剖面将多连体变为单连体，并要求剖面两边同一点位移相同。52 §4-6平面问题和应力函数☼平面应力问题弹性与塑性力学基础（4-28）第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法53 §4-6平面问题和应力函数☼平面应变问题弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法(4-29)根据几何方程可知，由胡克定律可知，因此，54 弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法（4-30）§4-6平面问题和应力函数☼平面应变问题55 弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法§4-6平面问题和应力函数对于平面问题，在无体积力存在时，其平衡微分方程为：(4-31)如果假定(4-32)则(4-31)将自然成立，而各个应力分量可以用一函数Φ(x,y)来表示，这样的函数称为艾里(Airy)应力函数。56 弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法对于平面应力问题，考虑到式(4-28)，则式(4-4)（广义胡克定律）可改写为（4-33）57 弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法对于平面应变问题，考虑到式(4-29)和(4-30)，则式(4-4)可改写为（4-34）由于，引入记号，则上式可写为：（4-35）58 弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法对比式(4-33)和(4-35)可知，不论是平面应力还是平面应变问题，都具有相同形式的应力-应变关系，只是对于平面应变问题用μ’去代替μ。将式(4-32)中的应力表达式代入式(4-33)后，则有(4-36)59 弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法以上的应变应该满足变形协调条件中的第一式，其余5个条件对于平面问题已自然满足。将式(4-36)代入上式后，则可得到用应力函数表示的协调条件为(4-37)上式也可写为因此，平面问题就归结为求解满足双调和方程和给定边界条件的函数Φ(x,y)。60 弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法此时，边界条件可以改写为：(4-38)如果将代入E和G之间的表达式，则可得到61 弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法因此，今后遇到平面应变问题，只需把平面应力问题的有关公式用代换E，用代换μ，即可得到平面应变问题的有关表达式。由于Φ(x,y)是双调和函数，所以可根据数学上成熟的有关双调和函数的知识去解决许多平面问题。§4-6平面问题和应力函数62 弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法§4-7圣维南原理在求解弹性力学问题时，存在的困难应力分量、应变分量、位移分量可完全满足基本方程，但边界条件要得到完全满足很难。在物体的一小部分边界上，仅仅知道物体所受的面力的合力，而这个面力的分布方式并不明确，无从考虑这部分边界上的应力边界条件。问题的提出63 弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。64 弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法§4-7圣维南原理圣维南原理：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，这个面力就只会是得近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。设有无限大平面，其中有一半径为a的圆孔，当孔边受到均匀应力q作用时，无限大平面内任意一点的应力与该点至圆心的距离的平方成反比。65 弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法PP当用钳子夹一根铁丝时，作用在铁丝端部的力是一对大小相等，方向相反的平衡力。这对力只在端部附近产生应力，对距离端部较远的地方只有极小的影响。§4-7圣维南原理66 弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法§4-8叠加原理设某一弹性体在面力和体力分别为Ti、Ki作用下的应力分量为σij，在同一弹性体内由另一组面力Ti’、Ki’所引起的另一组应力分量为σij’，则σij+σij’就一定是由于面力Ti+Ti’和体力Ki+Ki’的共同作用所引起的应力。以上两式相加，可得到(4-39)由平衡微分方程(4-10)，可知67 弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法(4-40)由于故在边界上有同样，协调方程也可以合并。叠加原理：弹性体在数个载荷共同作用下所产生的力学响应（内力、应力及位移等）等于每个载荷单独作用时产生的力学响应的总和。叠加原理的成立条件：小变形、线性弹性本构方程。68 弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法§4-9悬臂梁受均匀分布载荷作用假设σy仅是y的函数，即于是有，则有（4-41a）f1(y)和f2(y)是y的任意函数。69 弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法§4-9悬臂梁受均匀分布载荷作用由于应力函数Φ必须满足双调和方程，所以将它代入该方程式后，得到f(y)、f1(y)和f2(y)必须满足的条件为：上式为x的二次方程，但它有无穷多个根，因此方程的系数和自由项应等于零，即70 由前面两个方程，可得出弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法§4-9悬臂梁受均匀分布载荷作用(4-41b)由第三个方程，可得积分后，(4-41c)71 弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法§4-9悬臂梁受均匀分布载荷作用将式(4-41b)和(4-41c)代入式(4-41a)，得到应力分量为(4-41d)72 弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法§4-9悬臂梁受均匀分布载荷作用本问题的边界条件为（4-41e）（4-41f）（4-41g）73 弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法§4-9悬臂梁受均匀分布载荷作用由(4-41g)第三式可知，E=F=G=0由式(4-41e)、(4-41f)有解之，可得74 弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法§4-9悬臂梁受均匀分布载荷作用将A,B,……,G的已知值代入式(4-41d)，得(4-41h)由边界条件(4-41g)的前两个条件得75 弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法§4-9悬臂梁受均匀分布载荷作用代入式(4-41h)，并令，最后得到（4-41）76 弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法§4-10简支梁受均匀分布载荷作用根据材料力学知识可以求出，应力为：（4-42a）但应该抛弃材料力学中认为σy=0的假定，因为在梁的上表面，由图可知77 弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法§4-10简支梁受均匀分布载荷作用根据式(4-42a)选取应力函数的普遍形式于是有由式(4-42b)的第一式积分，得到(4-42b)(4-42c)78 弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法§4-10简支梁受均匀分布载荷作用将式(4-42c)代入式(4-42b)的第二式，则有由此得，这里的E为积分常数，代入式(42-2c)，可得(4-42d)可上式不满足双调和方程，为该函数添加一个任意函数ψ(x,y)，并以满足调和方程为目标来选择函数ψ(x,y)。(4-42e)79 弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法§4-10简支梁受均匀分布载荷作用将式(42-2e)代入双调和方程，则ψ(x,y)所必须满足的方程为F+2K+H=-4B(4-42h)H=-4B-F（4-42f）这个方程的解为（4-42g）将它代入式(4-42f)，可得由于在函数(42-2e)中已有了x2y3项，所以(4-42h)可以写成80 弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法§4-10简支梁受均匀分布载荷作用由上面的式子可得到，对应的应力分量为(4-42i)81 弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法§4-10简支梁受均匀分布载荷作用利用边界条件确定参数，先考察上下两面的条件为(4-42j)将它应用到式(4-42i)上，有(4-42k)82 弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法§4-10简支梁受均匀分布载荷作用要使式(4-42k)的前两式恒等成立，必须满足这样式(4-42k)可以化简为解之得，83 弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法§4-10简支梁受均匀分布载荷作用代入式(4-42i)，得到(4-42l)考察两端的边界条件第一个条件无法满足------利用局部性原理解决之第二个条件可以满足84 弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法§4-10简支梁受均匀分布载荷作用(4-42n)将上式代入式(4-42l)，整理得到(4-42)应力分量沿任一横截面的变化情况85 弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法§4-10简支梁受均匀分布载荷作用τxy与材料力学结果相同。σy表示纵向纤维间的挤压力，在材料力学中假设为零。σx中的第一项与材料力学结果相同，第二项表示弹性力学提出的修正项。（对于短而高的梁必须注意修正项。）梁的中间截面处，梁顶与梁底的弯曲应力为：当梁的长高比L/h=4时，修正项占主要项的1.7%；当梁的长高比L/h=2时，修正项占主要项的6.7%。86 弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法§4-11具有小圆孔的平板的均匀拉伸(4-43a)上式表示，在半径为b的圆周上，应力由两部分组成：一部分是沿着整个外圆周作用的不变的正应力S/2，另一部分是随θ变化的法向力0.5Scos2θ和切向力-0.5Ssin2θ。87 弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法§4-11具有小圆孔的平板的均匀拉伸第一部分应力可按受均匀分布压力作用的圆筒的情况计算。(4-43b)第二部分应力，将代入极坐标形式的双调和方程，得到f(r)所满足的方程(4-43d)88 弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法§4-11具有小圆孔的平板的均匀拉伸于是应力函数为：由此得应力分量为：(4-43e)利用边界条件确定任意常数A，B，C，D。89 弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法§4-11具有小圆孔的平板的均匀拉伸本问题的边界条件为将边界条件(4.43f)应用于式(4.43e)，可得(4.43f)90 弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法§4-11具有小圆孔的平板的均匀拉伸代入式(4-43e)，并与式(4-43b)相加，得到本问题的解为：(4-43)91 弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法§4-11具有小圆孔的平板的均匀拉伸当r=a时，有最大环向力发生在小圆孔的边界上θ=π/2和θ=3π/2处，其值为：应力集中因子：当Ox方向单向均匀受拉时，Kt=3，当Ox方向和Oy方向同时均匀受拉，则集中因子Kt=2。92 弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法§4-11具有小圆孔的平板的均匀拉伸93 弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法§4-11具有小圆孔的平板的均匀拉伸94 弹性与塑性力学基础第四章广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法§4-11具有小圆孔的平板的均匀拉伸95 阅读下面的材料，根据要求写一篇不少于800字的文章。(60分)母亲节前后，许多网友在微博、微信、网络社区中扎堆，突击“秀孝顺”。有的网友晒出为母亲购买的价值不菲的化妆品、首饰、包、电子产品；有的人请母亲去高档餐厅，并将菜式拍照上传；有的人转发“母爱”主题文章，抒发对母亲的讴歌。对此，有人赞赏，也有人提出质疑。对于以上事情，你怎么看？请综合材料内容及含意，表明你的态度，阐述你的看法。要求选好角度，确定立意，明确文体，自拟标题；不要套作，不得抄袭。 作文评分细则:1、作文以评价"秀孝顺"这一现象为核心，有鲜明的态度，可以赞同、质疑或者辩证看待。做到就事论事，评论这种现象的性质、产生的原因、影响、提出解决的办法，并能延伸联系社会现象。见解深刻，思路清晰，内容充实，文采飞扬，字迹漂亮。54分以上打分。2、作文以评价"秀孝顺"这一现象为重点，态度鲜明，四分三以上内容能就事论事，内容深度、思路、表达、卷面等方面稍有欠缺，48-53评分。3、作文能评价“秀孝顺”，态度鲜明，就事论事占一半以上，根据思路、内容、语言在42-47评分。4、作文能扣材料，涉及“孝顺”内容，写作中有些段落明显讲母爱、中华传统文化等，思路不够清晰，内容不充实，表达一般，36—41分评分。5、偏离题意，30-35分评分。如没有涉及材料，大谈母爱等。6、离题万丈。30分以下打分。 阅读下面的材料，根据要求写一篇不少于800字的文章。(60分)母亲节前后，许多网友在微博、微信、网络社区中扎堆，突击“秀孝顺”。有的网友晒出为母亲购买的价值不菲的化妆品、首饰、包、电子产品；有的人请母亲去高档餐厅，并将菜式拍照上传；有的人转发“母爱”主题文章，抒发对母亲的讴歌。对此，有人赞赏，也有人提出质疑。对于以上事情，你怎么看？请综合材料内容及含意，表明你的态度，阐述你的看法。要求选好角度，确定立意，明确文体，自拟标题；不要套作，不得抄袭。抓准任务 阅读下面的材料，根据要求写一篇不少于800字的文章。(60分)母亲节前后，许多网友在微博、微信、网络社区中扎堆，突击“秀孝顺”。有的网友晒出为母亲购买的价值不菲的化妆品、首饰、包、电子产品；有的人请母亲去高档餐厅，并将菜式拍照上传；有的人转发“母爱”主题文章，抒发对母亲的讴歌。对此，有人赞赏，也有人提出质疑。对于以上事情，你怎么看？请综合材料内容及含意，表明你的态度，阐述你的看法。要求选好角度，确定立意，明确文体，自拟标题；不要套作，不得抄袭。写作角度 角度一：对“秀孝顺”的行为给予肯定和支持。“秀孝顺”虽然有炫耀的色彩，但毕竟表达了对母亲的感恩与祝福，而且很多是有实际行为的。角度二：别把母亲节过成一场“秀”。对母亲的感恩与孝顺，更多的应是一种日常行为，一种生活常态，不应用来满足虚荣心和表现欲。角度三：对“秀孝顺”多一点宽容和理解。在今天这样一个自媒体的时代，人人都有可能作出各种各样的“秀”，“秀孝顺”不过是其中的一种。对此我们应给予多一点理解。 母亲节“秀”一把又有何妨在我看来，不管是晒一晒为母亲购买的化妆品、首饰、包、电子产品，还是转发“母爱”主题文章，抒发对母亲的讴歌，微博、微信、网络社区中扎堆、突击“秀孝顺”，非但无可厚非，相反还应加以支持。这是因为给母亲“实惠”的行为抑或转发“母爱”主题文章的“实不至”的举动，针对自己的母亲，抑或群体意义上的母亲，都为母亲节增添了节日的光彩。实际上，在中华民族传统节日的序列中，并没有父母之节，母亲节是“洋节”。在西方，每逢母亲节，人们会向母亲献上石竹花，而“洋节”在中国怎么过，应该是各有各的做法。但按照中国习俗借母亲节用多数人都能接受的行为来表达“感恩”之心，应该是适宜的。 或许有人认为，消费意识和“秀”的欲望合谋可能消解了母亲节的意义和价值，形式化、物质化成为其标识，而孝心、感恩恰恰应该是非形式、非物质的。故而，从昂贵礼物到煽情话语，“秀”出来的孝心和感恩是可疑的，它们很可能展示的只是虚荣心和表现欲。这两种心态使母亲节更像一种购物和展示的网络狂欢，而很难成为孝心和感恩的真正表达。我们并不否认这种“秀孝顺”不一定就很真实地表达了孝心和感恩，很完全地体现母亲节的含义，但是，如果连这些行为都不做或者做不了，我们还能在什么时间、以什么方式来表达对母亲的感恩之情呢？同时，“秀孝顺”也并不意味着平时就不孝顺。当五四青年节年轻人的联欢不见踪影，当教师节简单的学校聚餐被取消，试问这些写在日历中的节日还有多少意义？面对现实，以平常心看待这些“秀”或许是我们应有的心态。 因此，微信朋友圈传播的这些内容，实际上是尊重母亲尊重女性的体现，代表着一种积极的价值观。并非所有人都有机会能在当天和妈妈团聚，亲身向母亲表达自己的感恩与祝福，通过网络传播，具有积极扩大化的作用。同时，朋友圈的刷屏内容既有文字图片也有视频音乐，这样的拓展让大家有机会以更丰富的形式，表达自己心中的爱。或许，还有人认为，母亲节力所能及地表示一下孝顺是应该的，拿出来“秀”颇有炫耀的意味。其实，“秀”或者不“秀”那是个人的意愿，您也可以“秀”呀。所以，母亲节“秀”一把又有何妨。 陪伴最为长情母亲节前后，许多网友在微博、微信、网络社区中扎堆，突击秀孝顺。有的网友晒出为母亲购买的价值不菲的化妆品、首饰、包和电子产品；有的人请母亲去高档餐厅，并将菜式拍照上传；还有的人转发母爱主题文章，抒发对母亲的讴歌。我并不赞同这种做法。相较于这种仅在意外在的表现，我认为发自内心的陪伴最为长情。 随着社会的进步，科技的发展，我们的生活质量在不断的提高。旧时代所谓的高档品拿到现代都极为平常。很多人认为，想让母亲享受一些旧时代没有的高档品，来感谢母亲的养育之恩。这种想法本身是没有错误的。但是做法有很大问题。买完高档品后晒到网上、朋友圈，吃一顿大餐，发多张照片。这真是儿女全心全意对母亲爱的感恩吗？在我看来只是流于形式。无论是买高档品、吃大餐、还是在网上转载母爱的文章，都只是你想让别人知道你很爱母亲，所以你为她做这些。为什么爱一个人要让别人知道？是出于炫耀的目的，想让别人称赞你，说你有多爱你母亲吗？你愿意花这么多钱为她买东西，但这些东西母亲一定会用吗？你买了东西对母亲来说很可能是不适合的，她可能不想用。那么你花那么多钱，母亲也不想去用。因此，流于表面形式又浪费了金钱，使纯净的爱变了质。 我认为，母亲真正想要的并不是物质上的。现在生活条件比以前好太多了，母亲用什么其实都是高档品，与其再买高档品给她，不如陪伴母亲一天，一起买菜，一起做饭，吃完晚饭后陪母亲下楼绕楼遛圈，这其实已经足够了。平时你忙于工作或忙于学业，很难抽出大量时间陪在母亲身边，母亲嘴上不说，其实她很想跟你沟通，和你交流，了解你的困难，帮你出出主意，增进彼此间的感情，拉近你和母亲间的距离，这才是母亲真正想要的。 如果在抉择中让母亲选择你和高档品中的一个，任何母亲做出的选择都不可能是高档品，无论这个高档品多么贵重，在母亲眼里你就是唯一的。明明这些你都懂，为什么选择金钱这种表面形式来感谢母亲？可见，陪伴才最为长情。我认为，现在的我们并不应通过花钱买东西或者在网上转载文章这种形式表达对母亲的感恩之情，我们应抛开这种表面形式，多一点真诚，少一点套路，发自内心的陪伴母亲，这才是最为长情的，这才是最好的礼物。 阅读下面的材料，根据要求作文。2016年11月6日的《中国青年报》刊登了一篇《妈妈给我买了一双耐克的球鞋，学校就取消了我的贫困生助学金》的文章，引起网友激烈讨论。文章讲述了一位大学贫困生，因为一双耐克球鞋被同学举报，失去了贫困生助学金。这双球鞋是他妈妈省吃俭用几个月，花了五百元钱买的。有人认为，贫困生还高消费，容易让人质疑其贫困生的身份；有人认为，贫困生不应该总比别人低一头；也有人认为，这背后其实折射出人们对“精准扶助”问题的焦虑。对于这件事，你有什么思考和认识？请写一篇作文。要求：选好角度，确定立意，明确文体，自拟标题：不要脱离材料内容及含意的范围作文，不要套作，不得抄袭，不少于800字 点评学生作品贫困生不可高消费材料中的一位大学贫困生因一双耐克球鞋被取消助学金，引发网友不同争议，我认为学校取消助学金合情合理。贫困生高消费，歪曲了中国传承的消费观念。贫困生高消费会引起人们的质疑，对其产生信任危机。贫困生高消费，容易引起人们的愤怒。（甘沛沛） 为取消助学金点赞大学贫困生因一双耐克鞋被取消助学金，有人觉得这个有点过头了，而我觉得学校并没有错，这能起到警醒的作用。既然贫困了，为何还要买名牌，这只会让家庭雪上加霜。贫困生高消费，让资助人情何以堪。取消贫困生助学金有利弘扬俭朴美德。（陈佩银） 贫困生怎能如此消费？最近，一报刊报道了一贫困大学生因穿耐克鞋而被取消助学基金的事，对此群众各有看法，在我看来，该生理应被取消助学基金。贫困生这种高消费的行为颠覆了大众的消费观，贫困生的高消费让资助人情何以堪，贫困生理应量力消费，不辜负资助人帮助。（陈浩） 文好题一半1、莫以球鞋定富贵2、贫不可奢，奢者不贫3、扶贫？服贫！4、扶贫岂能一叶知秋？5、一颗不甘贫困的心6、一鞋障目，不见其贫7、饥肠配耐克，可否？ （优秀提纲）一颗不甘贫困的心一双锦履显威风，亦是囊中羞涩，饥肠配上耐克，只为踏上脱贫起跑线。是的，一双耐克鞋代表了一颗不甘贫困的心，代表了拥有不愿比别人低一头的尊严。1、敢问校方，是什么让你们理直气壮的制造贫困，扼杀希望？2、高档消费不是富人的专利。3、即使深陷壕沟，也要仰望星云。 莫以球鞋定富贵球鞋不是千金一掷的奢侈品，这位大学生也不是宝马香车的富豪人。以鞋的好坏定富贵，是否意味着以偏概全？以一个买球鞋的举报，取消助学金，又是否这意味着不负责任？1、纵使家徒四壁，一贫如洗，母亲用血汗钱买来的鞋子又有何非议？2、一双球鞋不能掩盖他穷得叮当响的事实。3、“精准扶贫”要给贫寒学子足够的信任。 贫不可奢，奢者不贫学生因一双母亲省吃俭用买的耐克鞋被同学举报，而被取消了贫困生的资格，引起热议。古者贫不可奢，文人贫不能奢。古人、文人尚且如此，我们的贫困学子，为什么不能这样做呢？因此我赞成学校的做法。1、贫困生高消费，助学金不是扶贫，实为“养奢”。2、买一双这样的鞋，存在着虚荣的思想。3、富者尚且提倡节俭，贫者何如？'