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'一阶保持器z变换法 计算机控制系统的经典设计方法连续域-离散化设计在连续域设计控制律D(s)，将D(s)离散化飞行控制律的数字化设计离散域设计将被控对象离散化，直接在离散域设计控制律卡尔曼滤波器，预测控制，离散方程经典设计方法单输入-单输出系统，SISO系统根轨迹设计，频率域设计2 5.1连续域—离散化设计5.2数字PID控制器设计5.3控制系统z平面设计性能指标要求5.4z平面根轨迹设计5.5w’变换及频率域设计3 补偿器：补偿ZOH带来的相位延迟－T/2当T较小时可以忽略其影响，可以不补偿假设：一般动态系统有惯性，阻尼，低通特性，高频段幅值衰减大信号经ZOH，保留基本频谱，高频部分衰减大在上述假设下：若使：必有：数字控制器补偿器模拟控制器7 连续域-离散化设计的步骤如下：第1步：根据系统的性能，选择采样频率第2步：考虑ZOH的相位滞后，设计数字控制算法等效传递函数De(s)第3步：选择合适的离散化方法，将De(s)离散化，获得脉冲传递函数D(z)，使两者性能尽量等效。第4步：检验计算机控制系统闭环性能。若满足指标要求，进行下一步；否则，重新进行设计。改进设计的途径有：①选择更合适的离散化方法②提高采样频率③修正连续域设计，如增加稳定裕度指标等第5步：将D(z)变为数字算法，在计算机上编程实现。8 5.1.2各种离散化方法最常用的表征控制器特性的主要指标：零极点个数；系统的频带；稳定性与稳态增益；相位及增益裕度；阶跃响应或脉冲响应形状；频率响应特性。等效离散D(z)D(s)数值积分法一阶向后差法一阶向前差法双线性变换法及修正双线性变换法零极点匹配法保持器等价法（阶跃响应不变法）z变换法(脉冲响应不变法)离散化方法9 1、与z变换相关的离散化方法(1)z变换法（脉冲响应不变法）(2)带保持器的z变换①带零阶保持器z变换法（阶跃响应不变法）②一阶保持器z变换法（斜坡响应不变法）这种方法可以保证连续与离散环节脉冲响应相同（其他响应不保证），但由于z变换比较麻烦，多个环节串联时无法单独变换以及产生频率混叠和其他特性变化较大，所以应用较少。这里的零阶保持器是假想的，并没有物理的零阶保持器。这种方法可以保证连续与离散环节阶跃响应相同（其他响应不保证），但要进行z变换，同样具有z变换法的一系列缺点，所以应用亦较少。由于和零阶保持器z变换法类似的原因，这种方法应用的较少。10 2.一阶向后差分法(1)离散化公式实质：将连续域中的微分用一阶向后差分替换系统离散：s与z之间的变换关系：（直接代入）以积分环节为例：或：总面积＝前k-1步面积和＋当前面积当前面积＝步长＊第k步的输入值11 2.一阶向后差分法(2)主要特性①s平面与z平面映射关系s左半平面（0）映射到z平面为圆心（1／2，0），半径1／2的小圆内部。映射一一对应，频率无混叠②若D(s)稳定，则D(z)一定稳定③串联特性，变换前后稳态增益不变，s0时z1。④T大，离散后失真大图5-4一阶向后差分法的映射关系(3)应用由于这种变换的映射关系有畸变，变换精度较低。所以，工程应用受到限制，用得较少。欧拉积分，T0时失真小。复杂系统仿真时可能使用12 4.一阶向前差分法(1)离散化公式做z变换，得将连续域中的微分用一阶向前差分替换s与z之间的变换关系：（直接代入）或：系统离散：以积分环节为例：当前面积＝步长＊第k－1步的输入值13 3.一阶向前差分法(2)主要特性①s平面与z平面映射关系映射一一对应，无混叠②若D(s)稳定，则D(z)不一定稳定：z域单位圆对应s域一个圆，不是全部稳态增益不变图5-8一阶向前差分法的映射关系(3)应用由于这种变换不能保证D(z)一定稳定，所以应用较少。平移放大关系14 4.双线性变换法（突斯汀-Tustin变换法）(1)离散化公式用梯形面积代替矩形面积进行z变换，得s与z之间的变换关系图5-9梯形积分法或：直接代入可以获得更高的变换精度与一阶差分变换都属于线性变换，是z变换的一阶近似15 4.双线性变换法(2)主要特性①s平面与z平面映射关系当=0（s平面虚轴)映射为z平面的单位圆周。当>0（s右半平面），映射到z平面单位圆外。当<0（s左半平面），映射到z平面单位圆内。②若D(s)稳定，则D(z)一定稳定，映射一一对应频率特性无混叠③频率畸变：s域虚轴映射为z域单位圆周长图5-10双线性变换映射关系s域角频率z域角频率为D16 4.双线性变换法③频率畸变：双线性变换的一对一映射，保证了离散频率特性不产生频率混叠现象，但产生了频率畸变。图5-11双线性变换的频率关系图5-12双线性变换的频率关系当采样频率足够小17 ③频率畸变特性：所有幅值集中在0s/2范围内，频率特性无混叠低频段，高频段畸变严重，频率特性变形T（s），线性段变长，畸变小例：飞机，信号在2Hz，8Hz，400Hz处，采样频率Tustin变换Z变换幅值不变，频率轴变频率不变，幅值有混叠18 4.双线性变换法(2)主要特性④串联特性，变换前后，稳定性不变,稳态增益不变。⑤变换后D(z)的阶次不变，且分子、分母具有相同的阶次，自动补上(z+1)p的零点。并有：(3)应用使用方便，有较高的精度和前述一些好的特性，工程上应用较为普遍，选好离散化的采样周期。主要用于低通环节的离散化，不宜用于高通环节的离散化。作用：将全频带特性压缩到0s/2范围内，增加截止频率，消除混叠19 5.预修正双线性变换解决“Tustin变换产生频率轴非线性畸变”问题。预修正：要求在关键频率1上，其他频率上不保证，仍有畸变应用：结构陷波器预修正步骤：1）选择关键频率12）求预修正频率3）将D(s/1)平移到D(s/1m),保证1m上幅值不变4）将D(s/1m)进行Tustin变换，得到D(z)20 5.预修正双线性变换(1)离散化公式1是设计者选定的特征角频率，希望在1上的幅值和相角不变实际可以直接采用上面的变换公式进行变换(2)主要特性该方法本质上仍为双线性变换法，因此具有双线性变换法的各种特性。但由于采用了频率预修正，故可以保证在关键频率处连续频率特性与离散后频率特性相等，即满足：在其他频率点幅相频特性会变化稳态增益不变，只要关键频率不为0(3)应用由于该方法的上述特性，所以主要用于原连续控制器在某些特征频率处要求离散后频率特性保持不变的场合。21 6.零极点匹配法(1)离散化方法特点：零、极点分别按一一对应匹配若分子阶次m小于分母阶次n，离散变换时，在D(z)分子上加(z+1)n-m因子确定D(z)的增益k1的方法：按右式来匹配若D(s)分子有s因子，可依高频段增益相等原则确定增益,即也可选择某关键频率处的幅频相等，即22 6.零极点匹配法(2)主要特性①零极点匹配法要求对D(s)分解为极零点形式，且需要进行稳态增益匹配，因此工程上应用不够方便。②由于该变换是基于z变换进行的，所以可以保证D(s)稳定，D(z)一定稳定。③当D(s)分子阶次比分母低时，在D(z)分子上匹配有(z+1)因子，可获得双线性变换的效果，即可防止频率混叠。（3）应用由于没有混叠，一一对应，无频率畸变，应用效果较好，不如Tustin变换方便23 几种变换方法小结所有D（s）D（z）的方法都是近似的，T（s）时近似性好向后差分：变换简单，失真较大零极匹配：零极点一一对应，增益要换算，补上（z+1）p后，无混叠Tustin变换：变换方便，映射一一对应，自动补上（z+1）p，无混叠；频率轴有畸变，s畸变，失真小预修正Tustin变换：保证在关键频率上幅相特性相同，s时无必要以上方法均适用于低通环节，高通环节可以采用频率特性拟合法24 第五章第一部分习题5-1，5-225 综合习题-1已知：1.试用Z变换、一阶向后差分、向前差分、零极点匹配、Tustin变换和预修正的Tustin变换（设关键频率＝1）等方法将D(s)离散化，采样周期分别取为0.1s和0.5s；2.将D(z)的零极点标在Z平面图上3.计算D(j)和各个离散化系统的幅频和相频特性并绘图，由0.1－15，至少计算30个点，应包括＝1点，每个T绘一张图（Z变换方法单画）4.计算D(s)及T=0.1,T=0.5时D(z)的单位脉冲响应,取k20项5.结合所得的结果讨论分析各种离散化方法的特点6.写出报告，附上结果。26 第二部分MATLAB应用篇1．拉氏变换和控制系统描述2．控制系统的时域分析3．根轨迹分析4.频率响应分析5.其它 一、拉氏变换和控制系统描述时域函数的拉氏变换定义是：拉氏反变换定义为：MATLAB中，可以采用符运算工具箱进行拉氏变换和拉氏反变换(laplaceilaplace)拉氏反变换线性微分方程拉氏变换后方程拉氏方程的解微分方程时域解代数运算积分运算拉氏变换时域拉氏域或复频域图2-1拉氏变换和拉氏反变换 MATLAB的LTI工具箱中，4类数学模型传递函数模型(TF,transferfunctionmodel)零极点增益模型和部分分式模型(极点留数型)(ZPK,zero-pole-gainmodel)状态空间模型(SS,Statusspacemodel)频率响应模型(FRD,FrequencyResponseDatamodel)模型之间都有着内在的联系，可以相互进行转换. 1.系统的分类线性连续系统线性定常离散系统非线性系统通过拉氏变换和反变换，可以得到线性定常系统的解析解，这种方法通常只适用于常系数的线性微分方程，解析解是精确的，然而通常寻找解析解是困难的。MATLAB提供了ode23、ode45等微分方程的数值解法函数，不仅适用于线性定常系统，也适用于非线性及时变系统。 2.传递函数的描述(1-3)连续系统的传递函数模型num=[b0,b1,…,bm]den=[a0,a1,…,an,]注意：它们都是按s的降幂进行排列的。零极点增益模型k:传递函数的传递系数zi:传递函数的零点pj:传递函数的极点 2.传递函数的描述(2-3)极点留数型/部分分式展开函数[r,p,k]=residue(b,a)对两个多项式的比进行部分展开，以及把传函分解为微分单元的形式。向量b和a是按s的降幂排列的多项式系数。部分分式展开后，余数返回到向量r，极点返回到列向量p，常数项返回到k。状态空间描述A为系统矩阵（A是一个n×n的方阵，n指系统的状态）；B为输入矩阵（B是一个n×m矩阵，m指明输入次数/是单输入还是多输入）；C为输出矩阵（C是一个k×n矩阵，k为y（输出k×1）的行数）；D为前馈矩阵（D是一个k×m的矩阵）； 2.传递函数的描述(3-3)频率响应数据模型式中，系统的频率响应数据是复数，可用response=[g1,g2, …,gk]输入；对应的频率w用freq=[w1,w2,…,wk]输入，两者应有相同的列数。得到的频率响应数据模型用G=frd(response,freq)表示。 3．模型的转换与连接(1-5)模型的转换ss2tf：状态空间模型转换为传递函数模型ss2zp：状态空间模型转换为零极点增益模型tf2ss：传递函数模型转换为状态空间模型tf2zp：传递函数模型转换为零极点增益模型zp2ss：零极点增益模型转换为状态空间模型zp2tf：零极点增益模型转换为传递函数模型2-2 3．模型的转换与连接(2-5)例：已知系统状态空间模型为：>>A=[01;-1-2];>>B=[0;1];>>C=[13];>>D=[1];>>[num,den]=ss2tf(A,B,C,D)>>[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D) 3．模型的转换与连接(3-5)控制工具箱中的LTI对象A)LTI对象的类型和属性B)LTI模型的建立C)对象属性的获取和修改D)模型类型的参数转换和提取串联与并联例：求状态方程与模型串联。例：求闭环系统的传递函数：G1u1v2z1y2图2-3串联连接的结构图G2u2=y1 3．模型的转换与连接(4-5)控制系统工具箱LTI对象运算优先等级为“状态空间>零极增益>传递函数”，合成系统的系统函数的对象特性应按照环节的最高等级来确定。例：已知系统1和系统2的状态方程分别为求按串联、并联、正反馈、负反馈连接时的系统状态方程及系统1按单位负反馈连接时的状态方程。 3．模型的转换与连接(5-5)例：求当K1=250/K1=1000时如图所示的系统的传递函数（表示成零极增益型式） 二、控制系统的时域分析时域分析的一般方法求取系统单位阶跃响应：step()求取系统的冲激响应：impulse()Step用法y=step(num,den,t)：其中num和den分别为系统传递函数描述中的分子和分母多项式系数，t为选定的仿真时间向量，一般可以由t=0:step:end等步长地产生出来。该函数返回值y为系统在仿真时刻各个输出所组成的矩阵。[y,x,t]=step(num,den)：此时时间向量t由系统模型的特性自动生成,状态变量x返回为空矩阵。[y,x,t]=step(A,B,C,D,iu)：其中A,B,C,D为系统的状态空间描述矩阵，iu用来指明输入变量的序号。x为系统返回的状态轨迹.如果对具体的响应值不感兴趣，而只想绘制系统的阶跃响应曲线，可调用以下的格式，自动输出响应曲线：step(num,den)；step(num,den,t)；step(A,B,C,D,iu,t)；step(A,B,C,D,iu)；线性系统的稳态值可以通过函数dcgain()来求取，其调用格式为：dc=dcgain(num,den)或dc=dcgain(a,b,c,d) 时域分析的一般方法(2-4)例：已知系统的开环传递函数为，求系统在单位负反馈下的阶跃响应曲线。impulse()函数的用法求取脉冲激励响应的调用方法与step()函数基本一致。y=impulse(num,den,t)；[y,x,t]=impulse(num,den)；[y,x,t]=impulse(A,B,C,D,iu,t)impulse(num,den)；impulse(num,den,t)impulse(A,B,C,D,iu)；impulse(A,B,C,D,iu,t) 时域分析的一般方法(3-4)例：已知系统的开环传递函数为，求系统在单位负反馈下的冲激响应曲线。例：某系统框图如下所示，求d和e的值，使系统的阶跃响应满足：(1)超调量不大于40%，(2)峰值时间为0.8秒。 时域分析的一般方法(4-4)例.二阶系统的闭环传递函数标准形式如下，求其单位阶跃响应，并仿真。欠阻尼情况临界阻尼情况过阻尼情况无阻尼情况 2．稳定性分析线性自动控控制系统稳定的充分必要条件是：系统闭环极点(特征根)全部都具有负实部，亦即：全部都位于复平面的左半面。例：求该闭环系统的稳定性。— 三根轨迹分析(1-4)所谓根轨迹是指，当开环系统某一参数从零变到无穷大时，闭环系统特征方程的根在s平面上的轨迹。一般来说，这一参数选作开环系统的增益K，而在无零极点对消时，闭环系统特征方程的根就是闭环传递函数的极点。根轨迹分析方法是分析和设计线性定常控制系统的图解方法，使用十分简便。利用它可以对系统进行各种性能分析.根轨迹分析函数通常来说，绘制系统的根轨迹是很繁琐的事情，因此在教科书中介绍的是一种按照一定规则进行绘制的概略根轨迹。在MATLAB中，专门提供了绘制根轨迹的有关函数。 根轨迹分析(2-4)pzmap：绘制线性系统的零极点图rlocus：求系统根轨迹。rlocfind：计算给定一组根的根轨迹增益。函数pzmap()来绘制系统的零极点图:[p,z]=pzmap(a,b,c,d)：返回状态空间描述系统的极点矢量和零点矢量，而不在屏幕上绘制出零极点图。[p,z]=pzmap(num,den)：返回传递函数描述系统的极点矢量和零点矢量，而不在屏幕上绘制出零极点图。pzmap(a,b,c,d)或pzmap(num,den)：不带输出参数项，则直接在s复平面上绘制出系统对应的零极点位置，极点用×表示，零点用o表示。pzmap(p,z)：根据系统已知的零极点列向量或行向量直接在s复平面上绘制出对应的零极点位置，极点用×表示，零点用o表示。 根轨迹分析(3-4)函数rlocus()来绘制系统的根轨迹图:rlocus(a,b,c,d)或者rlocus(num,den)：根据SISO开环系统的状态空间描述模型和传递函数模型，直接在屏幕上绘制出系统的根轨迹图。开环增益的值从零到无穷大变化。rlocus(a,b,c,d,k)或rlocus(num,den,k)：通过指定开环增益k的变化范围来绘制系统的根轨迹图。r=rlocus(num,den,k)或者[r,k]=rlocus(num,den)：不在屏幕上直接绘出系统的根轨迹图，而根据开环增益变化矢量k，返回闭环系统特征方程1＋k*num(s)/den(s)=0的根r，它有length(k)行，length(den)-1列，每行对应某个k值时的所有闭环极点。或者同时返回k与r。对于参数根轨迹，可以通过传递函数的等效变换而进行绘制。若给出传递函数描述系统的分子项num为负，则利用rlocus函数绘制的是系统的零度根轨迹（正反馈系统或非最小相位系统）。 根轨迹分析(2-4)rlocfind()函数:MATLAB提供了函数rlocfind()来找出给定的一组根（闭环极点）对应的根轨迹增益.[k,p]=rlocfind(a,b,c,d)或者[k,p]=rlocfind(num,den)它要求在屏幕上先已经绘制好有关的根轨迹图。然后，此命令将产生一个光标以用来选择希望的闭环极点。命令执行结果：k为对应选择点处根轨迹开环增益；p为对应K的系统闭环特征根。不带输出参数项[k,p]时，同样可以执行，只是此时只将k的值返回到缺省变量ans中。例：已知某开环系统传递函数如下所示：要求绘制系统的闭环根轨迹，分析其稳定性，并绘制出当k=55和k=56时系统的闭环冲激响应。 四频率响应分析频域分析的一般方法频率响应是指系统对正弦输入信号的稳态响应，从频率响应中可以得出带宽、增益、转折频率、闭环稳定性等系统特征。频率特性是指系统在正弦信号作用下，稳态输出与输入之比对频率的关系特性。频率特性函数与传递函数有直接的关系，记为：通常将频率特性用曲线的形式进行表示，包括对数频率特性曲线和幅相频率特性曲线（简称幅相曲线），MATLAB提供了绘制这两种曲线的函数。求取系统对数频率特性图（波特图）：bode()求取系统奈奎斯特图（幅相曲线图或极坐标图）：nyquist() 1.对数频率特性图（波特图）对数频率特性图包括了对数幅频特性图和对数相频特性图。横坐标为角频率w，采用对数分度，单位为rad/sec；纵坐标均匀分度，分别为幅值函数20lgA(w)，以dB表示；相角，以度表示。MATLAB提供了函数bode()来绘、对数频率特性图（波特图）制系统的波特图，其用法如下：bode(a,b,c,d)：自动绘制出系统的一组Bode图，它们是针对连续状态空间系统[a,b,c,d]的每个输入的Bode图。其中频率范围由函数自动选取，而且在响应快速变化的位置会自动采用更多取样点。bode(a,b,c,d,iu)：可得到从系统第iu个输入到所有输出的波特图。bode(num,den):可绘制出以连续时间多项式传递函数表示的系统的波特图。bode(a,b,c,d,iu,w)或bode(num,den,w)：可利用指定的角频率矢量绘制出系统的波特图。由于横坐标按对数分度，因此w必须由logsapce生成。当带输出变量[mag,pha,w]或[mag,pha]引用函数时，可得到系统波特图相应的幅值mag、相角pha及角频率点w矢量或只是返回幅值与相角。相角以度为单位，幅值可转换为分贝单位：magdb=20×log10(mag) 2.奈奎斯特图(幅相频率特性图)对于频率特性函数G(jw)，给出w从负无穷到正无穷的一系列数值，分别求出Im(G(jw))和Re(G(jw))。以Re(G(jw))为横坐标，Im(G(jw))为纵坐标绘制成为极坐标频率特性图，即奈奎斯特图。MATLAB提供了函数nyquist()来绘制系统的极坐标图，其用法如下：nyquist(a,b,c,d)：绘制出系统的一组Nyquist曲线，每条曲线相应于连续状态空间系统[a,b,c,d]的输入/输出组合对。其中频率范围由函数自动选取，而且在响应快速变化的位置会自动采用更多取样点。nyquist(a,b,c,d,iu)：可得到从系统第iu个输入到所有输出的极坐标图。nyquist(num,den):可绘制出以连续时间多项式传递函数表示的极坐标图。nyquist(a,b,c,d,iu,w)或nyquist(num,den,w)：可利用指定的角频率矢量绘制出系统的极坐标图。当不带返回参数时，直接在屏幕上绘制出系统的极坐标图（图上用箭头表示w的变化方向，负无穷到正无穷）。当带输出变量[re,im,w]引用函数时，可得到系统频率特性函数的实部re和虚部im及角频率点w矢量（为正的部分）。可以用plot(re,im)绘制出对应w从负无穷到零变化的部分。 奈奎斯特图(幅相频率特性图)(2-2)例：已知系统的传递函数为：求当K分别取1300和5200时，系统的极坐标频率特性图。 3.常用频域分析函数(1-3)MATLAB除了提供前面介绍的基本频域分析函数外，还提供了大量在工程实际中广泛应用的库函数，由这些函数可以求得系统的各种频率响应曲线和特征值。如：margin：求幅值裕度和相角裕度及对应的转折频率freqs：模拟滤波器特性nichols：求连续系统的尼科尔斯频率响应曲线（即对数幅相曲线）margin()函数：margin函数可以从频率响应数据中计算出幅值裕度、相角裕度以及对应的频率。幅值裕度和相角裕度是针对开环SISO系统而言，它指示出系统闭环时的相对稳定性。当不带输出变量引用时，margin(sys)可在当前图形窗口中绘制出带有裕量及相应频率显示的Bode图，其中幅值裕度以分贝为单位。sys为系统模型描述 常用频域分析函数(2-3)幅值裕度是在相角为-180度处使开环增益为1的增益量，如在-180度相频处的开环增益为g，则幅值裕度为1/g；若用分贝值表示幅值裕度，则等于：-20*log10(g)。类似地，相角裕度是当开环增益为1.0时，相应的相角与180度角的和。margin(mag,phase,w)：由bode指令得到的幅值mag（不是以dB为单位）、相角phase及角频率w矢量绘制出带有裕量及相应频率显示的bode图。margin(num,den)：可计算出连续系统传递函数表示的幅值裕度和相角裕度并绘制相应波特图。类似，margin(a,b,c,d)可以计算出连续状态空间系统表示的幅值裕度和相角裕度并绘制相应波特图。[gm,pm,wcg,wcp]=margin(mag,phase,w)：由幅值mag（不是以dB为单位）、相角phase及角频率w矢量计算出系统幅值裕度和相角裕度及相应的相角交界频率wcg、截止频率wcp，而不直接绘出Bode图曲线。 常用频域分析函数(3-3)freqs()函数freqs用于计算由矢量a和b构成的模拟滤波器H(s)=B(s)/A(s)的幅频响应。h=freqs(b,a,w)用于计算模拟滤波器的幅频响应，其中实矢量w用于指定频率值，返回值h为一个复数行向量，要得到幅值必须对它取绝对值abs，即求模。[h,w]=freqs(b,a)自动设定200个频率点来计算频率响应，这200个频率值记录在w中。[h,w]=freqs(b,a,n)设定n个频率点计算频率响应。不带输出变量的freqs函数，将在当前图形窗口中绘制出幅频和相频曲线，其中幅相曲线对纵坐标与横坐标均为对数分度。 4.频域分析应用实例(1-2)Nyquist曲线是根据开环频率特性在复平面上绘出的幅相轨迹，根据开环的Nyquist曲线，可以判断闭环系统的稳定性。系统稳定的充要条件为：Nyquist曲线按逆时针包围临界点(-1,j0)的圈数R，等于开环传递函数位于s右半平面的极点数P，否则闭环系统不稳定，闭环正实部特征根个数Z=P-R。若刚好过临界点，则系统临界稳定。例.已知某系统的开环传递函数为：要求(1)绘制系统的奈奎斯特曲线，判断闭环系统的稳定性，求出系统的单位阶跃响应。(2)给系统增加一个开环极点p=2，求此时的奈奎斯特曲线，判断此时闭环系统的稳定性，并绘制系统的单位阶跃响应曲线。 频域分析应用实例(2-2)例.系统结构图如下所示，试用nyquist频率曲线判断系统的稳定性。其中10G(s)R(s)C(s)++__ 结束语谢谢您的光临祝同学们：生活快乐学以致用'