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'数学史概论 文艺复兴时期，由于机械的广泛使用、航海事业的迅速发展以及我国四大发明的西传，促使欧洲的生产发生了大的飞跃。在生产的推动下，自然科学得到了迅猛的发展，数学也因此进行了一场大变革。正如恩格斯所说：“在中世纪的黑夜之后，科学以意想不到的力量重新兴起，并以神奇的速度发展起来，我们要再次把这个奇迹归功于生产。”“社会一旦有技术上的需要，则这种需要会比十所大学更能把科学推向前进。” 16、17世纪，科学思想和科学方法也正处于一个变革时期。在这个时期，到处是一片要求科学改革的呼声。比如，哲学家培根强调必须给人类的理智开辟一条与以前相比完全不同的道路以结束中世纪以来知识状况既不景气又没有很大进展的现状。他提倡通过对自然现象进行观察和实验来得出正确的结论。伽利略进一步强调了在观察和实验中运用数学方法的作用，强调科学必须通过测量而追求定量的规律。他的实验——数学方法，是划时代的思想。当时的许多自然科学家都注意到数学在自然科学研究中的重要性，这对数学的发展也起了巨大的促进作用。由于实践的需要和各门科学自身的发展，使自然科学转向对运动的研究、对各种变化过程及各种变化着的量之间依赖关系的研究。因此，研究运动成了自然科学的中心课题。因而，作为变化着的量的一般性质和它们之间依赖关系的反映，在数学中产生了变量和函数的概念。 古希腊的数学家们只重视几何学的研究，而忽视代数的方法。从古希腊起，在西方数学的发展过程中，几何学一直是至高无上的，就连一些简单的代数问题也往往用几何方法解决。代数方法在东方国家虽然有高度的发展，但又忽视了论证几何学的研究。因此，无论是在古代的欧洲，还是在东方国家，都不具备产生解析几何的条件。 随着东方文化的传入，东方高度发展的代数进入了欧洲。文艺复兴运动使欧洲数学在古希腊几何学和东方代数学的基础上有了巨大的发展。韦达符号代数学的创立，使代数学从一个过去以分别解决各种特殊问题侧重于计算的数学分支转变成一门研究一般类型问题和方程的学科。这就为由几何曲线建立代数方程并由代数方程研究几何曲线铺平了道路。坐标概念的引入和发展对解析几何的创立也有重要的作用。文艺复兴时期，随着航海事业的发展，经常需要确定轮船在大海中的位置，这就推动了坐标法的发展。坐标概念的引入，实现了平面的算术化，架起了代数、几何融合的桥梁，为解析几何的诞生奠定了基础。 对解析几何的诞生起至关重要作用的是天体运动和物体运动。开普勒发现行星绕日运动的轨迹是椭圆，伽利略指出各种抛物体的运动轨迹是抛物线，这就向数学提出了用运动的观点去研究圆锥曲线和其他曲线的问题。由于几何图形表示了运动，这就启发了人们反过来把静止不变的几何图形看作是变量运动的轨迹。这样一来，就把变量引入了数学。从此，数学就发生了质的变化——由研究常量的初等数学进入到研究变量的高等数学。在初等几何和初等代数基本定型和成熟的基础上，人们试图用代数方法研究几何问题，于是产生了一门崭新的数学分支——解析几何。 笛卡儿，法国数学家、哲学家和物理学家。出生于法国北部图朗郡的一个贵族之家。2岁丧母，深受父亲溺爱。他的父亲是一名律师，曾任议会议员，有一份相当可观的地产。笛卡儿8岁那年，被送到法国当时最好的学校拉弗里舍镇的一所耶稣学校接受教育。8年中这所学校给他打下的数学基础比当时在大多数大学中学到的还强的多。他父亲看到他身体虚弱，就专门与校长协商，允许他每天早上可以睡到他愿意起来上课时，这就使他养成了早上躺在床上思考问题的习惯。6.2笛卡儿与他的《几何学》1.笛卡儿生平简介 1612年，笛卡儿遵照父命去普瓦界大学攻读法律，4年后毕业当了一名律师。在笛卡儿那个年代，欧洲正陷入战火之中。按当时的社会风气，有志之士不是致力于宗教，就是献身于打仗。于是，笛卡儿决定从军。1617年，他加入奥伦茨公爵的军队驻扎在荷兰。在那里，笛卡儿为了解决一张公开张贴的数学问题而激发出对数学的兴趣。1619年11月10日，他做了三个生动的梦。他认为，这些梦如神奇的钥匙，打开了大自然的宝库。事实上，不是这些梦给了他启示，而是因为他苦思冥想才做了这些梦。这把神奇的钥匙是什么呢？即代数应用于几何。 1637年，笛卡儿出版了《更好地指导推理和寻求真理的方法论》，简称《方法论》。在这本书中，有3个著名的附录：《几何学》、《折光》、《气象》。其中《几何学》包括了他关于坐标几何和代数的思想，他首次明确提出了点的坐标和变数的思想，并借助坐标系用含有变数的代数方程来表示和研究曲线。《几何学》的问世，是解析几何产生的重要标志。这部《方法论》朴实无华，通俗易懂，不仅是重要的哲学著作，而且是法国文学史上杰出的散文。笛卡儿的哲学著作焕发着一股从柏拉图到当时的任何哲学家的作品中全然找不到的清新气息。他是近代哲学的开创者，虽然他也是近代数学的开创者之一，但确切的说，他在数学和自然科学上的成就，只是他哲学成果在科学上的表现。 《几何学》作为笛卡儿哲学著作《方法论》的附录，意味着他的几何学发现乃至其它方面的发现都是在其方法论原理指导下获得的。其方法论原理的本旨是寻求发现真理的一般方法，他认为在一切领域中可以建立一种普适的推证真理的方法，这个方法就是数学方法，称之为“通用数学”。因为立足于公理之上的证明是无懈可击的，而且数学方法超乎其对象，是一个知识工具。同时他认为，代数具有作为一门普遍的科学方法的潜力，强调了代数的一般性以及它在推理程序机械化和减小解题工作量方面的价值。他由此出发提出一种大胆的计划，即：任何的问题→数学问题→代数问题→方程求解当然，笛卡儿的方法论著作并没有告诉人们，在将一切问题化归为代数方程问题后将如何继续，这还是《几何学》需要完成的任务。 从1641年秋天起，笛卡儿一直住在荷兰境内靠近海牙的小村子里。1646年，50岁的笛卡儿已经闻名世界了。他在荷兰过着愉快的隐居生活，与欧洲的学者经常保持着通信的联系。1649年，瑞典的克里斯蒂娜女王听到笛卡儿的盛名后，便打破了他的平静生活。要笛卡儿每天去给女王上课。女王请笛卡儿亲临她的宫廷，还派了一艘军舰去迎接。女王想每天听笛卡儿讲课，但除了早晨5点又抽不出其他时间。可冬天早晨的寒冷对于不习惯早起、体质又孱弱的笛卡儿来说简直是一种灾难。下午当笛卡儿想躺下休息时，又常常被瑞典皇家科学院的人从床上拖起来。不久，他得了肺炎，情况越来越糟。1650年2月11日，这位年仅54岁、终生未婚的科学家就病逝于瑞典斯德哥尔摩。由于教会的阻止，仅有几个友人为其送葬。他的著作在他死后也被列入梵蒂冈教皇颁布的禁书目录之中。但是，他的思想的传播并未因此而受阻，笛卡尔成为17世纪及其后的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一。法国大革命之后，笛卡尔的骨灰和遗物被送进法国历史博物馆。1819年其骨灰被移入圣日耳曼圣心堂中。在他的墓碑上，镌刻着：笛卡儿，欧洲文艺复兴以来，第一个为争取并保证理性权利的人。 笛卡儿的哲学名言是：“我思故我在”，他解释说：“要想追求真理，我们必须在一生中尽可能把所有的事物都来怀疑一次”，而世界上唯一先需怀疑的是“我在怀疑”，因为“我在怀疑”证明“我在思想”，说明我确实存在，这就是“我思故我在”，成为笛卡儿唯理主义的一面旗帜。它虽然在物质与精神的关系上有所颠倒，但主张用怀疑的态度代替盲从和迷信，认为只有依靠理性才能获得真理，在当时不仅打击了经院哲学的教会权威，而且也为笛卡儿自己的科学发现开辟了一条崭新的道路。 关于笛卡儿创立解析几何的灵感有两个传说：笛卡儿终身保持着在耶稣会学校读书期间养成的“晨思”习惯，有一天，笛卡儿在床上晨思时，看见一只蜘蛛在天花板上爬行，突然灵感来了，他想到：如果能知道蜘蛛与相邻两个墙壁的距离之间的关系，就能描述出蜘蛛的路线。这样，他就产生了解析几何的设想。另一个传说是，1619年冬天，笛卡儿随军队驻扎在多瑙河畔的一个村庄，在圣马丁节的前夕（11月10日），他做了三个连贯的梦。笛卡儿后来说正是这三个梦向他揭示了“一门奇特的科学”和“一项惊人的发现”，虽然他从未明说过这门奇特的科学和这项惊人的发现是什么，但这三个梦从此成为后来每本介绍解析几何诞生的著作必提的佳话，它给解析几何的诞生蒙上了神秘色彩，当然未必可信。实际上，笛卡儿之所以能创立解析几何主要是他勇于探索、勤于思考、运用科学方法同时批判地继承前人成就的必然结果。灵感和直觉是勤奋努力的结果。 1）引入坐标观念根据笛卡儿的思想，当满足方程的变数（x，y）变化时，坐标为（x，y）的点画出的是曲线。希腊人认为，线是点的集合。而笛卡儿却认为线是点运动的结果。因此，笛卡儿关于曲线的定义与希腊人的显著区别在于动与静。这种思维方法给后来的牛顿等人以莫大的影响。2.笛卡儿的工作 2）利用坐标法提出曲线表示成方程的思想及用方程表示曲线的思想笛卡儿的中心思想是要建立一种普通的数学，使算术、几何和代数统一起来，他认为：欧氏几何的每一个证明总是要求某种新的往往是奇妙的想法，他批评希腊人的几何过于抽象且过多的依赖于图形以至它只能使人在想象力大大疲乏的情况下去练习理解力。欧氏几何是一种度量几何，只关心长度、角度，其方法是综合的，没有代数的介入。他对当时通行的代数也加以批评，说它完全受法则和公式的控制，缺乏直观以至于成为一种充满混杂和晦暗故意用来阻碍思想的艺术而不像一门改进思想的科学。他主张采取代数和几何中一切最好的东西，取长补短，融合为一门新的科学。 他发现代数在提供广泛的方法方面要优于希腊人的几何方法，代数方法具有一般性，具有把推理程序机械化和减少解题工作量的价值。笛卡儿预见到了代数具有作为一门普遍的科学方法的威力。他要把代数方法应用于解决几何问题。为了寻求能把代数应用到几何中去的新方法，笛卡儿思考了20多年。1619年，他悟出了新方法的关键是借助坐标系建立起平面上的点与数之间的对应关系，进而可以用方程表示曲线。他提出了点的坐标和变数的思想，并借助坐标系用含有变数的代数方程来表示和研究曲线。这样一来，笛卡儿就把以前对立着的数与形统一了起来，并在数学中引入了变量的思想，从而开拓了变量数学的领域。恩格斯高度评价了笛卡儿的新思想。他说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要，而它们也就立刻产生了。” 笛卡儿在解析几何的创建中作出了重大贡献，其成就在于：他用代数语言表示几何性质，从而使他获得了许多几何定理的简单证明，而用综合几何的方法证明就很困难。笛卡儿的方法可以把疑难命题的证明归结为一种代数技巧，这种技巧的掌握不需要多大才智。 和笛卡儿分享创立解析几何荣誉的人是其同胞费马。费马是法国17世纪最伟大的数学家之一。在微积分、数论、概率论和解析几何等数学分支中都有开创性的贡献。由于他不是职业数学家，数学研究只是他的业余爱好，故他被称为“业余数学家之王”。6.3费马的工作 费马其人费马 费马其人生平费马（PierredeFermat,1601---1665）,1601年8月20日出生于法国南部图卢兹附近的博蒙-德洛马涅一个皮革商人家庭。大学法律系毕业后在地方法院当律师，业余时间研究数学，30岁以后，对数学痴迷，几乎把全部业余时间投入数学研究。 德、行、能力费马为人谦逊，淡泊名利，勤于思，慎于言，潜心钻研，厚积薄发。他精通法语、意大利语、西班牙语、拉丁语、希腊语等，为他博览众书奠定了良好的基础。费马曾经深入地研究过韦达、阿基米德、丢番图等人的著作。 成就费马在解析几何、微积分、概率论和数论等方面，都做出了开创性的贡献，是解析几何、微积分与概率论的先驱，并被誉为近代数论之父，成为17世纪欧洲最著名的数学家之一。 1.他是牛顿、莱布尼兹大体完成微积分之前为微积分的创立作出贡献最多的一个；2.他和荷兰的惠更斯、法国的帕斯卡一起被誉为概率论的创始人；3.17世纪的数论几乎是费马的世界，费马大定理直到350多年后的1995年才由怀尔斯解决；4.费马与笛卡儿共享创建解析几何的美誉。 费马在世时，没有一部完整的著作问世，他的大部分研究成果都是批注在阅读过的书籍上，或者记录于与友人的通信中。费马去世后，在众多数学家的帮助下，费马的儿子将其笔记、批注以及书信加以整理，汇编成两卷《数学论文集》分别于1670年和1679年在图卢兹出版，费马的成果才得以广泛流传。 1629年，费马《平面和立体轨迹引论》150年后才出版。生前费马没有公开出版过书籍，直到去世后的14年，他的儿子将其手稿汇集以《数学论集》为名出版，在这本著作中，费马提出了解析几何中的两个概念：坐标概念及通过坐标把代数方程与曲线相联系的概念。虽然笛卡儿和费马之间发生过谁先发现解析几何的争论，但历史公正的评价是：他们分别用不同的方法各自独立地差不多同时创立了解析几何。他们应共享创建解析几何的美誉。 1.数学的研究方向发生了一次重大转折：使古代以几何学为主导的数学转变为以代数和分析为主导的数学。2.以常量为主导的数学转变为以变量为主导的数学，使得人们借助于数学对运动变化的规律进行定量的分析成为可能，从而为微积分的诞生奠定了基础。常量数学像解剖学，研究死的躯体；而变量数学像生理学，研究活的身体。前者只涉及固定和有限，而后者却包含运动、变化和无限。3.使代数和几何融为一体，实现了几何图形的数字化。4.代数的几何化和几何的代数化，使人们摆脱了现实的束缚，帮助人们从现实空间进入虚拟空间，从三维空间进入更高维的空间。如由考虑，进而。由类比，从三维空间进入到高维空间。6.4解析几何的伟大意义 19世纪后，解析几何发展得已相当完备，现代数学中的泛函分析和代数几何是解析几何的直接延续。本来，解析几何应称为代数几何，但19世纪的代数与解析同义。解析专指代数方法，所以19世纪给这一学科命名时，解析几何便作为一种标准名称沿用至今。 1、近代数学本质上可以说是变量数学，第一个里程碑是解析几何的发明，主要归功于法国的两位数学家笛卡儿和费马。2、笛卡儿的“通用数学思路”是任何问题转化为数学问题转化为代数问题转化为方程求解。3、简述笛卡儿对解析几何的贡献。(P138) 补充：我国的金融机构—不考A金融是什么？指货币资金的融通。B我国的金融机构体系法制p44C各行定义：央行=政府机关、可称为金融部；其他各银行=企业（国企、私企）。国家开行。 D、商业银行的利息利息：是货币所有者因贷出货币而从借款人那里获得的报酬。利息率：本金同在一定时期内由此收入的利息的比例。年利率，月利率。 商业银行是经营货币的特殊企业。简言之，商业银行的利润==发放贷款的利息收入—吸收存款的利息支出。 补充：关于我国的结算制度A结算业务：是指由于买卖及其他需要而发生的货币收付行为和方式。因为 古代的交易 现代的交易与结算开户银行　　开户银行甲企业　　乙企业 B我国将货币严格划分为现金和银行存款两类。将货币收付严格划分为： 现金结算：即用钞票结算（易手）。支付结算：即不使用钞票、使用九种结算方式结算。C管理机关：财政部，央行。D主要法规：《中华人民共和国票据法》;《支付结算办法》p46; 《人民币银行结算账户管理办法》，030901起施行。p52参考法规：《内部会计控制规范——货币资金（试行）》（财政部2001年6月22日）货币资金内部控制制度的内容。 E我国实行现金管理制度（控制）：一切现金收入都通过银行。尽量减少现金的使用和流通。单位的银行存款并不能随意取出现金。《现金管理暂行条例》，p44。 补充：什么是支付结算？A1990年前后发布了一系列新法规，是一次重要的结算制度改革：“三票一卡”为核心； 特点（1）票据化、信用化。（2）银行不像过去那样包收款、承担额外责任了。B银行是转账结算中心。 C九种结算方式中，票据=三票。受《中华人民共和国票据法》规范。《支付结算办法》也有规范、基本同。信用卡。受《支付结算办法》规范。 其他四种方式。受《支付结算办法》规范。D汇票的分类：（1）银行汇票（2）商业汇票——商业承兑汇票——银行承兑汇票 E每种结算方式建议掌握定义与下表中各点。账务处理（记账）：p46～。 F什么是票据？票据=标准化的欠条。票据何用？a赊销(欠).b转让流通(标准化).c安全方便，减少现金使用. 银行存款开户管理：开立账户4类。四个1。银行存款结算管理：支付结算原则。'