最新微分方程与差分方程稳定性课件PPT课件 22页

'微分方程与差分方程稳定性课件 7.7微分方程稳定性理论简介一阶方程的平衡点及稳定性设有微分方程(1)右端不含字变量t，称为自治方程.代数方程f(x)=0(2)的实根x=x0称为方程(1)的平衡点(或奇点).它也是(1)的解(奇解). 先看线性常系数方程(9)(非齐次方程组，可用平移的方法(x1=u1+c1,x2=u2+c2)化为齐次方程组)系数矩阵记作(10)为研究方程(9)的唯一平衡点P0(0,0)的稳定性，假定A的行列式detA0.(11)直接法 P0(0,0)的稳定性由(9)的特征方程det(AI)=0(12)的根(特征根)决定.方程(12)可以写成更加明晰的形式(13)将特征根记作1,2，则(14) 方程(9)的一般解具有形式或c1,c2为任意常数. 按照稳定性的定义(8)式可知，当1,2均为负数或均有负实部时P0(0,0)是稳定平衡点;而当1,2有一个为正数或有正实部时P0(0,0)是不稳定平衡点.在条件(11)下1,2均不为零.按上述理论可得根据特征方程的系数p,q的正负来判断平衡点稳定性的准则：若p>0,q>0，则平衡点稳定;（12）若p<0,或q<0，则平衡点不稳定.（13） 微分方程稳定性理论将平衡点分为结点、焦点、鞍点、中心等类型，完全由特征根或相应的取值决定，下表简明地给出了这些结果，表中最后一列指按照定义（8）式得下面关于稳定性的结论。 表1由特征方程决定的平衡点的类型和稳定性 对一般的非线性方程(6)，仍可在平衡点作一次Taylor展开，得常系数的近似线性方程来讨论. 非线性方程系数矩阵特征方程系数（17）（18）（19）结论：若方程（17）的特征根不为零或实部不为零，则点对于方程（6）的稳定性与对于近似方程（17）的稳定性相同。对于方程（6）的稳定性也由准则（12）、（13）决定。 差分方程模型对于k阶差分方程F(n;xn,xn+1,…,xn+k)=0(20)若有xn=x(n),满足F(n;x(n),x(n+1),…,x(n+k))=0,则称xn=x(n)是差分方程(20的解,包含k个任意常数的解称为（20）的通解,x0,x1,…,xk-1为已知时称为（20）的初始条件,通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为(20)的特解.若x0,x1,…,已知,则形如xn+k=g(n;xn,xn+1,…,xn+k-1)的差分方程的解可以在计算机上实现. 若有常数a是差分方程(20)的解,即F(n;a,a,…,a)=0,则称a是差分方程(20)的平衡点.又对差分方程(20)的任意由初始条件确定的解xn=x(n)都有xn→a(n→∞),则称这个平衡点a是稳定的.一阶常系数线性差分方程xn+1+axn=b,(其中a,b为常数,且a≠0)的通解为xn=C(-a)n+b/(a+1)易知b/(a+1)是其平衡点,由上式知,当且仅当|a|＜1时,b/(a+1)是稳定的平衡点. 对于一阶非线性差分方程xn+1=f(xn)其平衡点x*由代数方程x=f(x)解给出.为分析平衡点x*的稳定性,将上述差分方程近似为一阶常系数线性差分方程时,上述近似线性差分方程与原非线性差分方程的稳定性相同.因此当时,x*是稳定的；当时,x*是不稳定的.当 二阶常系数线性差分方程xn+2+axn+1+bxn=r,其中a,b,r为常数.当r=0时,它有一特解x*=0；当r≠0,且a+b+1≠0时,它有一特解x*=r/(a+b+1).不管是哪种情形,x*是其平衡点.设其特征方程2+a+b=0的两个根分别为=1,=2. ①当1,2是两个不同实根时,二阶常系数线性差分方程的通解为xn=x*+C1(1)n+C2(2)n;②当1,2=是两个相同实根时,二阶常系数线性差分方程的通解为xn=x*+(C1+C2n)n;③当1,2=(cos+isin)是一对共轭复根时,二阶常系数线性差分方程的通解为xn=x*+n(C1cosn+C2sinn).易知,当且仅当特征方程的任一特征根|i|＜1时,平衡点x*是稳定的.则 结束语谢谢大家聆听！！！22'