华东理工高等数学(上)11学分课件PPT-8.2幂级数.ppt 43页

'第二节一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的性质幂级数 一、函数项级数的概念设为定义在区间I上的函数项级数.对若常数项级数敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域;若常数项级数为定义在区间I上的函数,称收敛,发散,所有为其收为其发散点,发散点的全体称为其发散域. 为级数的和函数,并写成若用令余和则在收敛域上有表示函数项级数前n项的和,即在收敛域上,函数项级数的和是x的函数称它 例如,等比级数它的收敛域是它的发散域是或写作又如,级数级数发散;所以级数的收敛域仅为有和函数 二、幂级数及其收敛性形如的函数项级数称为幂级数,其中数列为幂级数的系数.称称为幂级数的基点.即基点的幂级数 例如,幂级数即是此种情形.问题:(1)幂级数的收敛范围是怎样的?(2)幂级数的收敛范围如何确定?(3)幂级数表示的和函数S(x)有何性质? 发散发散收敛收敛发散定理18.(Abel定理)若幂级数则对满足不等式的一切x幂级数都绝对收敛.反之,若当的一切x,该幂级数也发散.时该幂级数发散,则对满足不等式证:设收敛,则必有于是存在常数M>0,使 当时,收敛,故原幂级数绝对收敛.也收敛,反之,若当时该幂级数发散,下面用反证法证之.假设有一点满足不等式所以若当满足且使级数收敛,面的证明可知,级数在点故假设不真.的x,原幂级数也发散.时幂级数发散,则对一切则由前也应收敛,与所设矛盾,证毕 幂级数在(－∞,+∞)收敛;由Abel定理可以看出,中心的区间.用±R表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为则R=0时,幂级数仅在x=0收敛;R=时,幂级数在(－R,R)收敛;(－R,R)加上收敛的端点称为收敛域.R称为收敛半径，在[－R,R]可能收敛也可能发散.外发散;在(－R,R)称为收敛区间.发散发散收敛收敛发散 定理19.若的系数满足证:1)若≠0,则根据比值判别法可知:当原级数收敛;即时,1)当≠0时,2)当＝0时,3)当＝∞时,则 2)若则根据比值判别法可知,绝对收敛,3)若则对除x=0以外的一切x原级发散,对任意x原级数因此因此的收敛半径为说明:据此定理因此级数的收敛半径当原级数发散.即时, 对端点x=－1,的收敛半径及收敛域.解:对端点x=1,级数为交错级数收敛;级数为发散.故收敛域为例1.求幂级数 例2.求下列幂级数的收敛域:解:(1)所以收敛域为(2)所以级数仅在x=0处收敛. 例3确定幂级数的收敛域解注意:此级数中有无穷多项系数这样的级数称为缺项级数,故不能直接使用定理19来计算收敛半径方法一:设(看成数项级数)所以,当时,即时,幂级数绝对收敛。 当时,即时,幂级数发散。收敛半径收敛区间当时,原幂级数=发散。当时,原幂级数=发散。所以,幂级数的收敛域为方法二:令,则有(化为t的非缺项级数) 的收敛半径为收敛区间发散；又当时,当时,发散。所以的收敛域为又由,令所以,原级数的收敛域为 令,则原级数为（关于t的幂函数）确定的收敛域。例4解的收敛半径,收敛区间为又当t=1时，发散 当t=-1时，发散所以的收敛域为的收敛域为:级数的收敛域为:x>0即x>0 8.2.3幂级数的性质性质1和函数分别为S1(x)与S2(x),则在设与的收敛域为I1和I2,上收敛,且 性质2设与的收敛半径为R1和R2,和函数分别为S1(x)和S2(x),若记R=min{R1,R2},则与的柯西乘积在(-R,R)内收敛,且和函数等于S1(x)S2(x),即 说明:两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比原来两个幂级数的收敛半径小得多.例如,设它们的收敛半径均为但是其收敛半径只是 下面我们讨论幂级数表示的和函数S(x)的函数性质性质3(幂级数的连续性)设幂级数的收敛半径为R>0,则和函数S(x)在其定义域(即幂级数的收敛域)上连续.设幂级数的收敛半径R0,其和函数为S(x),则 也就是也就是说明:上式说明:幂级数对于收敛域中的点x0,可以逐项取极限。定义域中的任意一点,即若x0是则有 性质4（幂级数的可微性)说明:(1)上式说明:幂级数在其收敛区间内可导且可以逐项求导。半径为R>0,则和函数S(x)在(-R,R)内可微,且设幂级数的收敛(2)不加证明的指出:级数与级数具有相同的收敛半径。即,逐项求导不改变幂级数的收敛半径 (3)尽管与具有相同的收敛半径但收敛域未必相同例如幂级数与对于幂级数,收敛半径为收敛区间(-1,1),可知其收敛域为[-1,1] 对于幂级数,收敛半径为收敛区间(-1,1),可知其收敛域为[-1,1)(4)注意:在x=R>0(R为收敛半径)即为反例),处收敛,但S(x)在x=R处不一定可导(上面的例子即幂级数在其收敛域的端点处不一定具有可微性.但有以下性质 性质若在x=R处收敛,则S(x)在x=R处可导,且(可逐项求导)证明 性质5(幂级数的可积性)半径为R>0,则和函数S(x)在其定义域上可积而设幂级数的收敛且对其定义域中的任一点x有说明:(1)上式说明:幂级数在其定义域上可积而且可以逐项积分(2)与具有相同的收敛半径,但收敛域未必相同 解:由例2可知级数的收敛半径R＝+∞.例5.则故有故得的和函数.因此得设 例6.的和函数解:易求出幂级数的收敛半径为1,x＝±1时级数发散, 例7.求级数的和函数解:易求出幂级数的收敛半径为1,及收敛, 因此由和函数的连续性得:而及 例8.解:设则 而故 内容小结1.求幂级数收敛域的方法1)对标准型幂级数先求收敛半径,再讨论端点的收敛性.2)对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用比值法或根值法,2.幂级数的性质两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与也可通过换元化为标准型再求.乘法运算. 2)在收敛区间内幂级数的和函数连续;3)幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分. •求部分和式极限幂级数和函数的求法求和•映射变换法逐项求导或求积分对和式积分或求导难直接求和:直接变换,间接求和:转化成幂级数求和,再代值求部分和等•初等变换法:分解、套用公式（在收敛区间内）•数项级数求和 思考与练习1.已知处条件收敛,问该级数收敛半径是多少?答:根据Abel定理可知,级数在收敛,时发散.故收敛半径为 2.在幂级数中,n为奇数n为偶数能否确定它的收敛半径不存在?答:不能.因为当时级数收敛,时级数发散,说明:可以证明比值判别法成立根值判别法成立 阿贝尔(1802–1829)挪威数学家,近代数学发展的先驱者.他在22岁时就解决了用根式解5次方程的不可能性问题,他还研究了更广的一并称之为阿贝尔群.在级数研究中,他得到了一些判敛准则及幂级数求和定理.论的奠基人之一,他的一系列工作为椭圆函数研究开拓了道路.数学家们工作150年.类代数方程,他是椭圆函数C.埃尔米特曾说:阿贝尔留下的思想可供后人发现这是一类交换群, 备用题1.求极限其中解:令作幂级数设其和为易知其收敛半径为1,则 '