最新弹性力学与有限元法2课件PPT.ppt 66页

'弹性力学与有限元法2 第二章平面问题的基本理论平面问题的数学描述已知的几何参数和载荷（表面力和体积力）只与两个坐标，例如x、y有关，而与z无关；15个未知函数中只存在有oxy平面内的分量，且只是x、y的函数，其余分量或不存在，或可以用oxy平面内的分量表示；基本方程式是二维的。 第二章平面问题的基本理论§2-1平面应力问题与平面应变问题如果所考察的弹性体具有某种特殊的形状，并且承受的是某种特殊的外力，就可以把空间问题简化为近似的平面问题。平面应力问题几何形状特征：物体在一个坐标方向（例如z）的几何尺寸远远小于其他两个坐标方向的几何尺寸，如图所示的薄板。载荷特征：在薄板的两个侧表面上无表面载荷，作用于边缘的表面力平行于板面，且沿厚度不发生变化，或虽沿厚度变化但对称于板的中间平面，体积力亦平行于板面且沿厚度不变。 由对称条件可知，根据剪应力互等，由虎克定律，得出第二章平面问题的基本理论在平面应变问题中，独立的未知函数有8个，只是x和y的函数，不随z而变化。注意：由于z方向的伸缩被阻止，所以由广义虎克定律得到 在弹性力学里分析问题，要从三个方面来考虑：静力学方面、几何学方面和物理学方面。首先考虑平面问题的静力学方面，根据平衡条件来导出应力分量与体积力分量之间的关系式，也就是平面问题的平衡微分方程。§2-2平衡微分方程第二章平面问题的基本理论 第二章平面问题的基本理论连续性假设小变形假设略去二阶以及二阶以上的微量假设AD面处的正应力为σx，由于BC面相对于AD面x坐标有dx的增量，应力也将有相应的增量，BC面处的正应力可以用泰勒级数表示为 根据微元体处于平衡的条件，可以得到三个平衡微分方程。第二章平面问题的基本理论（一）作用于体心M的合力矩为零，即略去微量，整理，得出证明了剪应力互等定理。 （二）x方向的合力为零，即第二章平面问题的基本理论整理后，得（三）y方向的合力为零，即类似于上式，可得平面问题的平衡微分方程 x方向PA的正应变第二章平面问题的基本理论§2-3几何方程y方向PB的正应变几何方程表明了应变分量与位移分量之间的关系。P′′A′′′P′′′B′′′ PA与PB所夹直角的改变，即剪应变由两部分组成：x方向线素PA向y方向的转角，记为，和y方向线素PB向x方向的转角，记为，即第二章平面问题的基本理论由上图可知，在小变形下，，所以同理，所以 综合以上所列各式，得出平面问题的几何方程式第二章平面问题的基本理论要保证物体的位移是连续的，则应变分量之间必须满足一定的条件，即变形协调方程，或相容方程。 应变分量与应力分量之间的关系，即物理方程，也称为本构方程。第二章平面问题的基本理论§2-4物理方程在完全弹性的各向同性体内，应变分量与应力分量之间的关系由胡克定律导出E是弹性模量，G是剪切弹性模量，是侧向收缩系数，又称为泊松比。 平面应力问题的物理方程第二章平面问题的基本理论在平面应力问题中，由胡克定律，得，可以用来求得薄板厚度的改变。因为在平面应力问题中有和，所以有和 第二章平面问题的基本理论平面应变问题的物理方程在平面应变问题中，因为物体的所有各点都不沿z方向移动，即w=0，所以z方向的线段都没有伸缩，即由胡克定律，得，代入胡克定律，得平面应变问题的物理方程 可以看出，在平面应力问题的物理方程中，将E换为第二章平面问题的基本理论因为在平面应变问题中也有和，所以有和换为，就得到平面应变问题的物理方程。同样可以看出，在平面应变问题的物理方程中，将E换为，换为，就得到平面应力问题的物理方程。 引入记号第二章平面问题的基本理论§2-5平面问题基本方程式的综合与矩阵表示—应力分量列阵—应变分量列阵—位移分量列阵—体积力分量列阵—微分算子矩阵 第二章平面问题的基本理论用应力、应变、位移分量表示的基本方程平衡微分方程或几何方程或 第二章平面问题的基本理论物理方程（平面应力）（平面应变）统一写为用应变表示应力 其中矩阵[D]称为弹性矩阵或应力应变关系转换矩阵第二章平面问题的基本理论（平面应力）（平面应变） 这样，用应力、应变和位移分量表示的弹性力学平面问题基本方程可以表示为第二章平面问题的基本理论方程组的总数是8个：2个平衡方程，3个几何方程和3个物理方程。所包含的未知函数也是8个：3个应力分量；3个应变分量；2个位移分量。常从该方程组出发按位移求解。 第二章平面问题的基本理论用应力和应变分量表示的基本方程平衡微分方程连续性方程引入二阶微分算子行阵或或 第二章平面问题的基本理论物理方程用应力表示应变（平面应力）（平面应变）统一写为 第二章平面问题的基本理论其中[C]是弹性矩阵[D]的逆矩阵。（平面应力）（平面应变） 第二章平面问题的基本理论这样，用应力和应变分量表示的弹性力学平面问题基本方程可以表示为方程组的总数是6个：2个平衡方程，1个连续性方程和3个物理方程。所包含的未知函数也是6个：3个应力分量及3个应变分量。常从该方程组出发按应力求解。 第二章平面问题的基本理论§2-6边界条件位移边界条件应力边界条件设平面弹性体在Su边界上给定位移和，它们是边界坐标的已知函数。则在Su边界上，位移分量必须等于该点的给定位移，即设平面弹性体在边界上给定表面力分量和，它们是边界坐标的已知函数。则在边界上，应力分量与给定表面力之间的关系，可由边界上微元体的平衡条件得出。 第二章平面问题的基本理论在物体的边界上，取一微元三角形ABC，其斜边BC与物体的边界面重合。N表示边界的外法线方向，N的方向余弦为cos=l，sin=m，则dx=mds,dy=lds由微元体平衡条件，得略去高阶小量，整理后得同理，由，得由略去高阶小量后，得到。 所以，平面问题的应力边界条件第二章平面问题的基本理论在上用矩阵表示为在上当边界面垂直于坐标轴时，应力边界条件将简化：边界垂直于x轴，l=1,m=0边界垂直于y轴，l=0,m=1在上在上 第二章平面问题的基本理论混合边界条件物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件，另一部分具有已知表面力，因而具有应力边界条件。按照边界情况，弹性力学问题一般分为三类：位移边界问题：在边界面上全部给定位移，即全部是Su边界应力边界问题：在边界面上全部给定表面力，即全部是边界。这时，外力（包括体力和面力）应是平衡力系。混合边界问题：既有Su边界，又有边界。二者可以分别在边界表面不同的区域上，或同一区域不同的方向上。 第二章平面问题的基本理论试列出下图所示弹性体的边界条件q1q2ρgyaOxyx=ax=0y=0y=bb 人们研究了局部区域上力的作用方式对于弹性力学解答的影响问题，提出了圣维南原理：如果把物体的某一局部（小部分）边界上作用的表面力改变其分布方式，但保持静力上的等效（即主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），则近处的应力分布将有显著的改变，而远处的应力改变极小，可以忽略不计。第二章平面问题的基本理论§2-7圣维南原理应用圣维南原理，绝对不能离开“静力等效”的条件。 对于局部区域受一平衡力系作用时，圣维南原理还可叙述如下：如果物体某一局部（小部分）边界表面承受的表面力是一平衡力系（即主矢量和主矩都为零），这个平衡表面力所产生的扰动只限在局部，即只在受力附近产生显著的应力，随着远离受力位置应力迅速衰减甚至消失。第二章平面问题的基本理论 第二章平面问题的基本理论列出右图所示的全部边界条件h/2h/2xylqq1OFNFSM（l>>h,δ=1）大边界上，精确的边界条件小边界（即次要边界）上，按照圣维南原理列出近似边界条件边界上在x=0x=l 第二章平面问题的基本理论§2-8求解平面问题的基本方法在弹性力学里求解问题，有三种基本方法：按位移求解，按应力求解和混合求解。按位移求解时，以位移分量为基本未知函数，由一些只包含位移分量的微分方程和边界条件求出位移分量以后，再用几何方程求出应变分量，从而用物理方程求出应力分量。按应力求解时，以应力分量为基本未知函数，由一些只包含应力分量的微分方程和边界条件求出应力分量以后，再用物理方程求出应变分量，从而用几何方程求出位移分量。在混合求解时，同时以某些位移分量和应力分量为基本未知函数，由一些只包含这些基本未知函数的微分方程和边界条件求出这些基本未知函数以后，再用适当的方程求出其它的未知函数。 按位移求解第二章平面问题的基本理论在平面应力问题中，物理方程是求得应力分量 将几何方程代入，得第二章平面问题的基本理论再将上式代入平衡微分方程简化后，得到用位移表示的平衡微分方程 第二章平面问题的基本理论代入应力边界条件简化后，得到用位移表示的应力边界条件对于平面应变问题，须在上面的各个方程中将E换为，将换为 第二章平面问题的基本理论如图所示悬挂板，在o点固定，下端自由，材料比重为，试求该板的应力分量和位移分量。一维问题v=0,u=u(x),泊松比μ＝0g代入用位移表示的平衡微分方程解出利用边界条件得出所以 将平面问题几何方程中x对y的二阶导数和y对x的二阶导数相加，得到第二章平面问题的基本理论按应力求解—变形协调方程或相容方程对于平面应力问题，将物理方程代入变形协调方程，得到利用物理方程将变形协调方程中的应变分量消去，使之只包含应力分量（基本未知函数）。 第二章平面问题的基本理论利用平衡微分方程，将上式简化为只包含正应力而不包含剪应力。将平衡微分方程写成如下形式将前一方程对x求导，后一方程对y求导，然后相加，并注意得代入，简化后，得到平面应力问题的相容方程将换为，可得到平面应变问题的相容方程 第二章平面问题的基本理论小结按位移求解平面应力问题位移分量须满足边界条件在上在Su上平衡微分方程 对于按位移求解平面应变问题，须在上面的平衡微分方程和边界条件中将E换为，将换为。按位移求解平面应变问题第二章平面问题的基本理论求出位移分量后，用几何方程求得应变分量然后用右式求得应力分量。 第二章平面问题的基本理论按应力求解平面应力问题应力分量须满足边界条件在上平衡微分方程相容方程 第二章平面问题的基本理论对于按应力求解平面应变问题，须在上面的相容方程中将换为。按应力求解平面应变问题求出应力分量后，用物理方程求得应变分量然后对几何方程积分求得位移分量，并使其满足位移边界条件。在Su上 第二章平面问题的基本理论§2-9应力函数由上节可知，按应力求解平面应力问题时，在体积力为常量时，应力分量应当满足平衡微分方程以及相容方程并在边界上满足应力边界条件。在上 第二章平面问题的基本理论平衡微分方程是一个非齐次微分方程组，它的解包含两部分，即，任意一个特解及下列齐次微分方程的通解：特解可以取为也可以取为等形式。为了求得齐次微分方程的通解，将其中前一个方程改写为 第二章平面问题的基本理论根据微分方程理论，这就一定存在某一个函数A(x,y)，使得同样，将第二个方程改写为可见也一定存在某一个函数B(x,y)，使得由剪应力互等，可得因而又一定存在某一个函数，使得 第二章平面问题的基本理论将上式代入，即得通解将通解与任一组特解叠加，即得微分方程的全解称为平面问题的应力函数，也称Airy（艾瑞）应力函数。将微分方程的上述解代入相容方程，得当X及Y为常量，上式简化为 第二章平面问题的基本理论展开为这就是用应力函数表示的相容方程。它是一个重调和方程。应力函数(x,y)是重调和函数。上式可简写为如果体积力不计，则微分方程的解可简化为所以，对于按应力求解平面问题，如果体积力是常量，问题就变为要找出一个应力函数(x,y)，使其满足重调和方程，然后由上式确定应力，并使其满足应力边界条件。如果需要，再利用物理方程确定应变，由几何方程求出位移。 第二章平面问题的基本理论显然，应力函数的确定是用应力法求解问题的关键。由于重调和方程是高阶偏微分方程，它的解一般都不可能直接求出。因此，在具体求解问题时，只能采用逆解法或半逆解法。所谓逆解法，就是先设定各种形式的、满足相容方程的应力函数(x,y)，用公式求出应力分量，然后根据应力边界条件来考察，在各种形状的弹性体上，这些应力分量对应于什么样的表面力，从而得知所设定的应力函数可以解决什么问题。所谓半逆解法，就是针对所要求解的问题，根据弹性体的边界形状和受力情况，假设部分或全部应力分量为某种形式的函数，从而推出应力函数(x,y)，然后来考察，这个应力函数是否满足相容方程，以及，原来所假设的应力分量和由这个应力函数求出的其余应力分量，是否满足应力边界条件。如果相容方程和各方面的条件都能满足，自然也就得出正确的解答；如果某一方面不能满足，就要另做假设，重新考察。 第二章平面问题的基本理论§2-10多项式应力函数及其应用举例例1设物体所占区域为一矩形域，其坐标系和受力情况如图所示（忽略体积力），并设边界应力均为常数。试写出应力函数及各应力分量。由应力函数的性质及图示边界受力情况，可知应力函数(x,y)只能是x、y的二次多项式，即有可以看出此应力函数满足相容方程，相应的应力分量为 第二章平面问题的基本理论不难看到，这个应力分量也满足物体的边界条件。因此，上图所示的矩形物体的应力状态为均匀应力状态，它可由二次多项式应力函数给出。并且，还可以看到以下几点：（1）的线性项C4x+C5y+C6不影响应力分布，对于单连通区域可以不考虑。（2）若单独取中每一个二次单项式，则分别得到以下三种应力状态：（a）x方向的简单拉伸，这时有（b）y方向的简单拉伸，这时有（c）x和y方向的纯剪切，这时有因而如图所示应力状态亦是上述三种简单应力状态的迭加。 第二章平面问题的基本理论例2如图所示为长为L，高为2h，单位厚度的纯弯曲梁（忽略体积力）。该梁两端作用有弯矩M，对应的应力分布x如图所示，并且关于x轴是反对称的。试写出应力函数及各应力分量。设，则由应力函数的性质可知，应力函数(x,y)应是x,y的三次多项式才能给出纯弯曲梁两端的线性应力分布，所以设不难看出，(x,y)满足相容方程，对应的应力分布为但是因为梁的上下表面不受力，两端剪应力亦为零，所以有。 第二章平面问题的基本理论根据材料力学中纯弯曲梁的平截面假设，可得，其中，为截面的惯性矩。所以，得到如图所示纯弯曲梁的应力分布 第十二课文档的高级排版 ？比较两种排版方式它们有什么不同？ （1）找一找：“首行缩进”滑块，说一说“首行缩进”滑块的作用；（2）拖动水平标尺上的“首行缩进”滑块，设定诗歌每一行的起始位置；（3）选定诗歌中的文字，再拖动“首行缩进”滑块。巧排诗歌 认识“左缩进”、“右缩进”滑块 如何调整诗歌行与行之间，段落与段落之间的距离？1.打开“格式”菜单中的“段落”；2.出现“段落”对话框后，调整“行间距”和“段落间距”； 认识“项目符号”和“编号” 认识“行和段落间距” 说一说：对文档的高级排版，你有何感受？ 作业布置：P69“练一练”1.选择自己的一篇作文输入Word中，设置“首行缩进”，“行间距”和“段前间距”。2.输入《安全文明制度》，并采用“编号”排版 谢谢观看66'