高等代数课件PPT--第9章欧几里得空间.ppt 48页

'第9章欧几里得空间线性空间的概念是通常几何空间从向量的加法、数乘运算上的推广和抽象,但作为线性空间具体模型的几何空间中有关向量的度量性质,如向量的长度、夹角在线性空间中未得到体现.本章将在实数域上的线性空间中引入内积概念,并讨论这样的线性空间中向量的度量性质,以及在内积条件下线性空间的基和线性变换等问题. 第9章欧几里得空间定义与简单性质标准正交基同构*正交变换子空间对称矩阵的标准形向量到子空间的距离最小二乘法* §9.1定义与基本性质引言几何空间R3中向量与的内积是指实数(,)=||||cos=a1b1+a2b2+a3b3||,||分别为向量与的模(长度),为与的夹角.利用内积概念也可以表示向量的长度及两个非零向量的夹角：显然,向量与正交(垂直)(,)=0,且具有以下性质：(,)=(,)(k,)=k(,)(+,)=(,)+(,)(,)0,当且仅当=0时,(,)=0. 由于几何空间中的内积是用向量的长度及夹角表示的，因此不能将其进行形式上的推广，而是用公里化定义给出实数域R上线性空间内积的概念1.内积与欧几里得空间(1)定义设V是实数域R上线性空间,称V上满足下述性质的二元实函数(,)为内积：(i)(,)=(,)(ii)(k,)=k(,)(iii)(+,)=(,)+(,)(iv)(,)0,当且仅当=0时,(,)=0.其中,,是V中任意向量，kR.而定义了内积的实数域R上线性空间称为欧几里得空间，简称欧氏空间. 按定义，几何空间R3构成欧氏空间.例1线性空间Rn中,任取=(a1,a2,…,an),=(b1,b2,…,bn)定义(,)=a1b1+a2b2+…+anbn则(,)是内积,即Rn关于该内积构成一个n维欧氏空间.若在线性空间Rn中定义则(,)也是内积.实数域R上的线性空间V可以定义多个内积,从而V可以构成不同的欧氏空间.标准内积 例2在闭区间[a,b]上所有实连续函数所成的线性空间C(a,b)中，任取f(x),g(x),定义则由定积分的性质可知(f,g)是内积,从而C(a,b)关于该内积构成一个欧氏空间.例3在实矩阵空间Rmn中，任取A、B,定义(A,B)=tr(ABT)则易知(A,B)是内积,从而Rmn关于该内积构成一个mn维的欧氏空间. 例4设V是n维的欧氏空间,1,2,…,n为V的一组基.若V,且(,i)=0,i=1,2,…,n,则=0.证依题意，可设=k11+k22+…+knn,则故=0.(2)性质设V是欧氏空间，则内积有如下性质(i)(,0)=(0,)=0(ii)(k,)=(,k)(iii)(,+)=(+,)(iv)(,)0.其中,,是V中任意向量，kR.对称性非负性 (1)向量的长度定义设是欧氏空间中的任意向量，非负实数称之为向量的长度(范数).性质(i)||0,当且仅当=0时,||=0(ii)|k|=|k|||(iii)|+|||+||(后证)证(ii)2.向量的长度与夹角 (2)向量的夹角为合理引进两个向量夹角的概念,首先证明欧氏空间中的柯西——布涅科夫斯基(Cauchy-Buniakowski)不等式.定理设V是欧氏空间，,V,有|(,)|||||当且仅当,线性相关时等号成立.证(i)若,线性无关,则0,t,tR.考虑向量=-t(0),由于(,)=(-t,-t)=(,)-2t(,)+t2(,)>0知|(,)|<||||. (ii)若,线性相关,则当,至少有一为零向量时,等号显然成立，否则可设=k.由|(,)|=|(k,)|=|k(,)|=|k|||2=|k|||||=||||即等号成立；反之若等号成立，则为零向量时,,线性相关，若0,则取故-k=0即,线性相关. 结合具体的欧氏空间，可得如下不等式.推论1空间Rn中,任取=(a1,a2,…,an),=(b1,b2,…,bn)，有推论3设V是欧氏空间,,V,有下列三角不等式||-|||+|||+||.推论2空间C(a,b)中，任取f(x),g(x),有柯西不等式许瓦尔兹不等式 证由|+|2=(+,+)=(,)+2(,)+(,)||2+2||||+||2=(||+||)2故|+|||+||；又||=|(+)-||+|+|-|=||+|+||从而||-|||+|.||依据柯西——布涅科夫斯基不等式|(,)|||||可得从而有如下向量α与β的夹角的定义. 定义设V是欧氏空间，对任意非零向量,V,称与的夹角.(3)正交向量定义设V是欧氏空间，如果对,V，有(,)=0称向量与正交或垂直，记为.当向量与正交时，有勾股定理|+|2=||2+||2.两两正交：设i(i=1,2,…,m)V,若(i,j)=0(ij)称向量组i(i=1,2,…,m)为两两正交的向量组. 定义设V是n维欧氏空间,1,2,…,n为V的一组基.称为基1,2,…,n的度量矩阵.性质(i)AT=A(ii)对V中任意向量=x11+x22+…+xnn,=y11+y22+…+ynn,有(,)=XTAY.3.度量矩阵基的度量矩阵完全确定了内积！ (iv)度量矩阵是正定的.事实上,对V中任意非零向量=x11+x22+…+xnn,即(iii)设1,2,…,n及1,2,…,n为n维欧氏空间V的两组基,对应的度量矩阵分别为A与B.若(1,2,…,n)=(1,2,…,n)C则B=CTAC.即度量矩阵A是正定的.不同基的度量矩阵是合同的！ §9.2标准正交基1.正交向量组定义欧氏空间V中一组两两正交的非零向量称为V的一个正交向量组.为方便，单个的非零向量也看成正交向量组.定理正交向量组是线性无关的向量组.证两边同时与i作内积,得n维欧氏空间的两两正交的非零向量的个数不能超过n个！ 解依题意3=（x1,x2,x3)T应满足例1 2.标准正交基的概念定义n维欧氏空间V中，由n个正交向量组成的正交向量组称为V的一个正交基(orthogonal);由单位向量组成的正交基称为V的一个标准正交基.依定义，若1,2,…,n是n维欧氏空间V中一个标准正交基，则反之亦然，因此有如下结论.定理n维欧氏空间V的一组基1,2,…,n是标准正交基为该基的度量矩阵A=((i,j))nn为单位矩阵. 说明①在标准正交基下,向量的坐标可以通过内积简单地表示出来：即若1,2,…,n是欧氏空间V的一个标准正交基，则V有=(,1)1+(,2)2+…+(,n)n②在标准正交基下,内积有特别简单的表达式.设=x11+x22+…+xnn,=y11+y22+…+ynn,则(,)=x1y1+x2y2+…+xnyn=XTY.正是几何空间中向量的内积在直角坐标系坐标表达式的推广！ 3.标准正交基的存在性及其求法定理1n维欧氏空间V中任意一个正交向量组都能扩充成V的一组正交基.证设1,2,…,m是一正交向量组,对n-m作数学归纳法.当n-m=0时,1,2,…,m就是一组正交基.假设n-m=k时定理成立，即可找到向量1,2,…,k使1,2,…,m,1,2,…,k成为一组正交基.以下考虑n-m=k+1的情形.因m