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'52相似矩阵详解 2一.相似矩阵的概念与性质定义5.2设A，B都是n阶方阵，如果存在一个可逆矩阵P，使可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵.则称A与B是相似的，称为对A作相似变换， 3矩阵的相似关系是一种等价关系，即有（1）自反性（2）对称性（3）传递性则 7证明二、利用相似变换将方阵对角化 8 9命题得证.因此， 10注：（1）方阵A如果能够对角化，则对角矩阵Λ在不计λk的排列顺序时Λ是唯一的，称为A的相似标准形。（2）相似变换矩阵P就是A的n个线性无关的特征向量作为列向量排列而成的。 11说明如果阶矩阵的个特征值互不相等，则与对角阵相似．推论1如果的特征方程有重根，此时不一定有个线性无关的特征向量，从而矩阵不一定能对角化，但如果能找到个线性无关的特征向量，还是能对角化．推论2如果对于n阶方阵A的任一k重特征值λ，有r(A－λE)=n－k，则A可对角化。 12利用相似变换将矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：将n个线性无关的特征向量组成矩阵P.3.2.1. 13例1判断下列实矩阵能否化为对角阵？且求矩阵P解 14得基础解系 15求得基础解系因此,且 16解之得基础解系故不能化为对角矩阵. 例2已知是矩阵的一个特征向量。(1)试确定参数（2）解由即17 解方程得为所对应的特征值.因此的特征值为.18 解方程组，由则，得线性无关的特征向量只有一个，故不能相似于对角矩阵.19 20解例3已知求 21它们对应的特征向量分别为令 22所以因此易求得 所以23 24 25例4设矩阵与相似，其中求与的值.解的特征多项式为 显然，的特征值为.由于与相似，26所以必定为的特征值，将代入的特征方程得，则的特征多项式为特征值为，所以.另解：由A与B相似，则 三、对称矩阵的性质说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵．27定义5.3如果阶方阵满足（即）那么称为正交矩阵.定理5.3设都是n阶正交矩阵，则（1） 28定理5.4对称矩阵的特征值为实数.证明（2）的列（行）向量组是两两正交的单位向量；（3）（即）也是正交矩阵；（4）也是正交矩阵. 29于是有两式相减，得 30定理5.4的意义 31证明于是 32证明略.定理5.6说明，实对称矩阵必可对角化．实际上对实对称矩阵，更有如下重要结论. 33证设的互不相同的特征值为他们的重数显然，根据定理5.6，对应重特征值，恰有个线性无关的特征向量，把他们正交化并单位化，即得个单位正交特征向量．由定理5.6， 这个单位特征向量两两正交．以它们为列向量构成正交矩阵,有其中的对角元素恰为的个特征值.注定理的证明过程给出了求正交矩阵的方法. 35根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：四、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法1.2.并将它们正交化、单位化。将上述个特征向量按列排成矩阵，则3. 36解例4对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵，使为对角阵.(1)第一步求的特征值 37得基础解系 38得基础解系 39解之得基础解系第三步将特征向量正交化第四步将特征向量单位化 40 41 42 43于是得正交阵 44例5设三阶实对称矩阵的特征值为，，对应的一个特征向量为，求.解因为实对称矩阵，则存在正交矩阵，使所以 45记，则为的特征值，对应的单位正交特征向量.因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，则对应于的特征向量x应满足设,则上式即为可得正交的基础解系 =，=.把单位化，得45 于是所以46 48五、小结１．相似矩阵相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好的性质： 49２．相似变换与相似变换矩阵这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之相似的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算．相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A变成　　　，而可逆矩阵称为进行这一变换的相似变换矩阵． 503.对称矩阵的性质：(1)特征值为实数；(2)属于不同特征值的特征向量正交；(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值．4.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向量单位化；(4)最后正交化． 51思考题一.n阶矩阵A,若为1或-1;为0或1;为0.1.2.3.4. 52三阶实对称矩阵A的特征值为1,2,3,属于1,2的特征向量分别为(-1,-1,1),(1,-2,-1).求A的属于特征值3的特征向量求矩阵A.解题思路属于特征值3的特征向量必与属于特征值1,2的特征向量两两正交2.由1可求得A的三个线性无关的特征向量,组成矩阵P,求出P的逆矩阵,则 53作业P1755;6;7;8;9;10. 让我们一路同行放飞理想Welcometomyclass因为有你所以精彩 SentencetypesStatements(陈述句)Questions(疑问句)祁东县一中曾友生 动词的分类:Be动词：am,is(was)are(were)情态动词：can(could),may,must,will(would),shall(should)等助动词：do,does(did)have,has(had)实义动词：run,eat,play,like……等(might) 用be动词“am,is,are”填空I________Tony.She______hismother.He______mybrother.It_______akey.How_______you?You______astudent.(学生）I_______hersister.She______mycousin.He_______mygrandfather.It_______anorange.________thisyourpen?---Yes,it_______.12.________thatyourbackpack?---Yes,it_______.13.What_______yourfirstname?14.These_______myphotos.amisisisareareamisisisIsisIsisisare 15._______theseyourpencils?----Yes,they_____.16.Those_______myrulers.17.______thosehissharpeners?----No,they_______.18.What______thisinEnglish?----It_____awatch.19Whatcolor_____thebookcase?----It______red.20.What_______these?----They_____tables.21.What_____those?----They_____beds.22.Whatcolor_____thesesofas?---They_____blue.23.Where_____mybackpack?AreareareArearen’tisisisisareareareareareareis 1.AmIwrongagain?2.IsitamapofChina?3.AreyouinClass2,Grade1?4.Washeateacherfiveyearsago?5.WereyouinClass2,Grade1lastyear?观察下列一般疑问句:1.Canyouspellit?2.CanLilyspeakChinese?3.MayIcomein?4.MustIfinishmyhomeworkfirst?5.Willyougotothezoo?6.Shallwegotothezoo?动词位于句首be情态动词位于句首 1.DoyoulikeEnglish?2.DoessheliveinBeijing?3.Didyoutellherthetruth?4.HaveyoueverbeentoBeijing?5.HasTomfinishedhishomework?助动词位于句首定义:1).以be动词、情态动词、助动词为首，句末有问号(?)的句子;2).能用yes/no(或者相当于yes/no)来回答的句子. 1.AmIwrongagain?2.IsthisamapofChina?3.AreyoufromChina?4.Wasyourfatherateacherfiveyearsago?5.WerethetwinsinClass2,Grade1lastyear?Yes,youare./No,youaren’t.Yes,itis./No,itisn’t.Yes,Iam./No,I’mnot.Yes,hewas./No,hewasn’t.Yes,theywere./No,theyweren’t.回答: 1.Canyouspellit?2.CanLilyswim?3.WillJimgotothezoo?4.MayIcomein?5.MustIfinishmyhomeworkfirst?6.Shallwegotothezoo?Yes,Ican./No,Ican’t.Yes,shecan./No,shecan’t.Yes,youmay.Yes,youmust.Yes,hewill./No,hewon’t./No,youmustn’t.是一个提建议的句型,回答一般用Ok./Goodidea./No,youneedn’t.May起头的一般疑问句,否答用mustn’tMust起头的一般疑问句,否答用needn’t 1.DoyoulikeEnglish?2.DoessheliveinBeijing?3.Didyoutellherthetruth?4.HaveyoueverbeentoBeijing?5.HasTomfinishedhishomework?Yes,Ido./No,Idon’t.Yes,shedoes./No,shedoesn’t.Yes,Idid./No,Ididn’t.Yes,Ihave./No,Ihaven’t.Yes,hehas./No,hehasn’t. 根据问句作肯定回答或否定回答:一、以be动词(am,is,are,was,were)开头的一般疑问句。1.IsSarahsadtoday?Yes,____________.2.Areyouplayingchess,JohnandMike?No,__________.3.Isthereabookstorenearthehospital?No,____________.4.Arethereanypicturesonthewall?Yes,_____________.sheiswearethereareisthere 把下列句子改为一般疑问句,并作肯定回答和否定回答。1.Thisismysister.2.Thatismybrother.3.Thesearemyparents.4.Itisapencilcase.5.Heismyfriend.Isthisyoursister?Yes,itis./No,itisn’t.Isthatyourbrother?Yes,itis./No,itisn’t.Aretheseyourparents?Yes,theyare./No,theyaren’t.Isitapencilcase?Yes,itis./No,itisn’t.Isheyourfriend?Yes,heis./No,heisn’t. 6.Sheismycousin.7.Thosearemyfriends.8.Aliceishisgoodfriend.9.AnnaandMonaaresisters.10.Thebookisonthetable.Issheyourcousin?Yes,sheis.No,sheisn’t.Arethoseyourfriends?Yes,theyare.No,theyaren’t.IsAlicehisgoodfriend?Yes,sheis.No,sheisn’t.AreAnnaandMonasister?Yes,theyare.No,theyaren’t.Isthebookonthetable?Yes,itis.No,itisn’t. 二、以情态动词开头的一般疑问句。1.Canyoucookthemeals?No,__________.2.CanJanedive?Yes,____________.3.Willtheyplaythepianothisevening?Yes,____________.4.MayIhavealook?_____,____________.(肯定)5.MustIattendthemeeting?_____,______________.(否定)can’tIcanshewilltheyYesyoumayNoyouneedn’t 1.Doesyourmotherworkinthecinema?________________________.2.DotheygoshoppingeverySunday?________________________.3.DidJohnclimbamountain?________________________.4.HaveyoueverbeentoBeijing?________________________.5.HasTomfinishedhishomework?________________________.三、以助动词(do,does,did,have,has)开头的一般疑问句Yes,theydo./No,theydon’tYes,shedoes./No,shedoesn’tYes,hedid./No,hedidn’tYes,Ihave./No,Ihaven’t.Yes,hehas./No,hehasn’t. (注意:把陈述句改为一般疑问句时,一、二人称要做相应的变化.)把下列陈述句改为一般疑问句:1.Thisismyfriend.2.Therearesomebooksontheteacher’sdesk.3.Theycanswim.4.Thesestory-booksaremine.5.Hegoestoschoolonfoot.6.Mrs.LiandKittywereherejustnow.7.Therewasabuildingherelastyear.8.IwilllookaftermysisterthisSunday.9.Tomdidhishomeworklastnight.10.IhaveeverbeentoFrance.11.MikehasgonetoBeijing. 陈述句变否定句：一、含be动词(am,is,are,was,were)的陈述句变否定句,在be动词后直接加not。1.Sarahissadtoday._____________________.2.JohnandMikeareplayingchess._____________________.3.Thereisabookstorenearthehospital.______________________.4.Therearesomepicturesonthewall._______________________.isn’taren’tisn’taren’tany 二、含情态动词的陈述句变否定句，在情态动词后直接加not。1.Icancookthemeals.__________________.2.Janecandive.__________________.3.Theycanplaythepiano.__________________.4.Hemustattendthemeeting.__________________.5.Iwillgototheparktomorrow.__________________.can’tcan’tcan’tmustn’twon’t 1.IlikeEnglish.2.ShelivesinBeijing.3.Itoldherthetruth.4.Lucydidherhomeworkyesterday.5.Tomhasfinishedhishomework.6.IhaveeverbeentoBeijing.don’tdoesn’tlivedidn’ttelldidn’thasn’tdohaven’t 1.Thisismyfriend.2.Therearesomebooksontheteacher’sdesk.3.Theycanswim.4.Thesestory-booksaremine.5.Hegoestoschoolonfoot.6.Mrs.LiandKittywereherejustnow.7.Therewasabuildingherelastyear.8.Idomyhomeworkafterschool.9.Tomdidhishomeworklastnight.10.IhaveeverbeentoFrance.11.MikehasgonetoBeijing.把下列陈述句改为否定句: 特殊疑问句以一个疑问代词（what,which,who,whom,whose)或一个疑问副词(how,why,when,where)开头的疑问句叫特殊疑问句。朗读时用降调。回答时不能用yes,no,而应根据实际情况作出回答。如：Whatisthis?It’sabook.Howareyou?I’mfine,thanks.Whereisthepen?It’sonthedesk. 对划线部分提问1.MynameisMona.2.Thekeyisyellow.3.Thisisanorange.4.I’mfine.5.Thebooksareonthedresk.Whatisyourname?Whatcoloristhekey?Whatisthis?Howareyou?Wherearethebooks? 6.That’saneraser.7.Thosearemyparents.8.Therearefivepeopleinmyfamily.9.Mytelephonenumberis62831505.10.HerlastnameisSmith.11.Hisrulersareblackandwhite.12.Alanistall.Whatisthat?/What’sthat?Whoarethose?Howmanypeoplearethereinyourfamily?Whatisyourtelephonenumber?Whatisherlastname?Whatcolorarehisrulers?WhatisAlanlike?'