最新三重积分课件PPT.ppt 84页

'三重积分 一、问题的提出采用计算非均匀平面设有一非均匀空间物体,非均匀空间物体的质量占有界闭区域Ω,物体在点(x,y,z)处的密度f(x,y,z)为闭区域Ω的连续函数,计算该物体的质量M.如果物体是均匀的,即其密度为常数,则物体的质量等于物体的密度乘以物体的体积.对于计算非均匀空间物体的质量,薄片质量的方法.2 即(1)分割用一组曲面网将有界闭区域Ω任意分成n个小闭区域(2)取近似在每个小闭区域ΔΩi上任取一点(3)求和整个物体质量的近似值(4)取极限求物体质量的精确值四步:当各小闭区域直径中的最大值λ趋于零时,3 对称性质补充三重积分4.三重积分的性质与二重积分的性质类似.其中Ω1为Ω在xOy坐标面的上半部区域.(property)若区域Ω关于xOy坐标面对称,f(x,y,z)为z的奇函数,f(x,y,z)为z的偶函数,则称f关于变量z的奇函数.(偶)7 或而得结果为零.例??0则8 例？0？若域Ω关于两个坐标面yOz,xOz都对称,其中Ω2是Ω在第一,五卦限部分的区域.Ω2是Ω在一,五卦限部分的区域,则f同为x,y的奇函数,f同为x,y的偶函数,9 研究生考题,选择,3分C则()成立.练习10 若域Ω关于三个坐标面都对称,其中Ω3是Ω在第一卦限部分的区域.例？0？Ω3是Ω在第一卦限的部分,则f同为x,y,z的奇函数,f同为x,y,z的偶函数,11 若Ω关于原点对称,其中Ω4为Ω中关于原点对称的一半区域.f为x,y,z的奇函数,f为x,y,z的偶函数,12 三、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分故直角坐标系下的体积元素为在直角坐标系下三重积分可表为在直角坐标系中,如果用平行于坐标面的平面的来划分Ω,直角坐标系中将三重积分化为三次积分.思想是13 解由于V是长方体,故例三次积分的上、下限都是常数,计算三重积分其中V是长方体先一后二法14 投影法先一后二法如图,闭区域Ω在xOy面上的投影为闭区域D,过点作直线,从z1穿入,从z2穿出.(如先z后xy)15 X－型再计算F(x,y)在闭区域D上的二重积分得则先将x,y看作定值,将f(x,y,z)只看作z的函数,因为16 如何写出当D为Y–型闭域时,?注三次积分的公式三重积分化为交不多两点情形.这是平行于z轴且穿过闭区域Ω内部的直线与闭区域Ω的边界曲面S相17 所以,三重积分可以化为六种不同次序的三次积和积分域Ω选取适当的三次积分进行计算.解题时,要依据具体的被积函数f(x,y,z)同样,也可以把积分域Ω向yOz、zOx面投影.分(累次积分).18 以上计算三重积分的方法按先“单积分”又由于此方法是先把积分区域Ω向坐标所以又称其为“先一后“二重积分”的步骤,后二”的积分次序.故该方法也称为坐标面投影法.面投影,且二重积分的积分区域就是Ω的投影区域,19 解化三重积分为三次所围成的闭区域.其中积分区域为由曲面得交线投影区域积分,练习20 解化三重积分为三次例所围成的闭区域.其中积分区域为由曲面消z得交线投影区域积分,确定积分限的口诀:含z方程为上、下面,无z、有z消z围D线.21 例求解的原函数不是初等函数,应先对x积分后对yz积分一定要交换积分次序.(先一后二)22 投影法(先一后二法)计算三重积分?例解其中Ω为三23 截面法(先二后一法)解计算三重积分例原式=其中Ω为三24 截面法(红色部分)先二后一法截面法的一般步骤(1)投影,得投影区间[c1,c2];(2)(3)计算二重积分(4)最后计算定积分得截面Dz;其结果为z的函数F(z);(如先xy后z)把积分区域Ω向某轴(如z轴)用过z轴且平行xOy的平面去截Ω,25 即当被积函数仅与变量z有关,截面法的公式还有两个.?用上公式简便.希望自己推注且截面Dz易知时,26 对上述公式可作一直观的物理解释:设f(x,y,z)是一物体的密度函数,是Ω中位于点(x,y)处的竖直细棒的质量,而二重积分则表示将诸细棒的质量累积成整个物体的质量则先一后二法27 对上述公式可作如下物理解释:物体的密度函数,是截面Dz的质量,则二重积分则表示将诸截面的质量累积成整个物体的质量设f(x,y,z)是一而定积分先二后一法28 计算其中Ω为椭球体:解先二后一法练习29 练习提示已知椭球V:内点(x,y,z)处质量的体密度为:求椭球的质量.30 解因为而其中先二后一法(截面法)31 由对等性知因此所以32 解极坐标所围立体体积V.例V在xOy面的投影域Dxy为33 规定直角坐标与柱面坐标的关系为就叫点M的柱面坐标.2.利用柱面坐标计算三重积分cylindricalcoordinates设M(x,y,z)为空间内一点,并设点M在xOy面上的投影P的极坐标为则这样的三个数直观地讲,以O为观察点去观察空间一个点M,则M之间的水平距离,是而z是M的高度.表示O与的方向角,34 柱面坐标系中,以z轴为中心轴的圆柱面;过z轴的半平面.与xOy平面平行的平面;三坐标面分别为称点M的柱面坐标35 柱面坐标系中的体积元素为在柱面坐标系中,如图,得小柱体即直角坐标系下三重积分与(红色部分).若以三坐标面分割空间区域Ω,柱(面)坐标系下三重积分的关系是36 ?如何计算柱坐标系下三重积分回想直角坐标系下计算三重积分方法.将三重积分化为三次积分(累次积分)37 柱坐标系下三重积分的计算,可得柱坐标系下三重积分化为三次积分与x,y,z等同的看为三个变量.如,极坐标不等式表示只要把被积函数中的的计算公式.类比公式先将Ω在xOy面上的投影域用38 从而故再确定Ω的下,上边界面注通常是先积再积后积39 如积分域Ω为圆柱域(如图).则40 解例所围成.积分域用柱坐标表示为原式其中Ω由半圆柱面n为正偶数n为大于1的正奇数41 例已知立体内任一点的质量的体密度解因为平面柱面坐标求曲面所围立体的质量M,与该点到z轴的距离的平方成正比.的交线是上的圆体密度函数为42 Ω的下边界面是上边界面是故所以Ω在xOy面上的投影域即是半径为2的圆域43 解?如先对z积分其中Ω是由锥面与平面所围成的锥台体.柱面坐标思考44 可看出如先对z积分,(积不出来).将遇到积分最后对z积分.这里应先对积分,45 解对称性质例所围成的空间闭区域.同理,因为所以因为zx是关于x的奇函数,所以且Ω关于zOx面对称.且Ω关于yOz面对称.46 计算柱坐标在xOy面上的投影域Dxy为47 所以对称性质计算关于两个坐标面48 当被积函数是积分域Ω由圆柱面(或一部分)、锥面、抛物面用所围成的.柱面坐标计算三重积分较方便.在应用柱面坐标计算三重积分时,应熟悉一些常见曲面的柱面坐标方程:直角坐标方程柱面坐标方程半球面圆锥面旋转抛物面圆柱面圆柱面49 记投影向量与规定正方向间的夹角为球面坐标.称为点M的3.利用球面坐标计算三重积分设M(x,y,z)为空间内一点,向xOy平面投影,x轴正方向的夹角为直观地讲,角度和角度类似于我们确定地球表面上任一地点的纬度和经度,而长度r则表示球面到球心的距离.可想而知,球面坐标很适合描述球体或与球体有关的空间区域.50 球面坐标与直角坐标的关系为51 球面坐标系中的三坐标面分别为原点为心的球面;过z轴的半平面.原点为顶点、z轴为轴的圆锥面;称点M的球面坐标52 球面坐标系中的体积元素为若以三坐标面分割空间得小六面体(红色部分).于是,在球面坐标系中,区域Ω,53 通常是注54 如积分域Ω为球域(如图).则55 练习解考研数学一,填空,4分56 解采用例所围的立体.球面坐标因为其中Ω是锥面57 58 解采用例由锥面和球面围成,的立体体积.球面坐标所围成59 解积分域关于xOy坐标面对称,被积函数是z的奇函数.例利用对称性简化计算其中积分区域60 球或积分区域61 当积分区域是球形域或是球的一部分;或上半部是球面下半部是顶点在原点的锥面,被积函数具有的形式时,用球面坐标计算三重积分较简便.62 研究生考题(数学一)计算,5分练习解被积函数是围成的空间区域,x的奇函数.球请再用柱面坐标做.所以积分域Ω关于yOz面对称,63 研究生考题(数学一)12分练习设函数f(x)连续且恒大于零,其中(1)讨论在区间内的单调性.(2)证明64 (1)解因为球极坐标(1)讨论在区间内的单调性.65 设函数连续且恒大于零所以,单调增加.(1)讨论F(t)在区间内的单调性.66 (2)证因(2)证明要证明只需证明即令67 则单调增加.因为所以因此,(2)证明设函数连续且恒大于零68 柱面坐标系下计算三重积分柱面坐标体积元素四、小结三重积分的定义直角坐标系下计算三重积分(思想:计算时将三重积分化为三次积分)三重积分的计算(四步:分割、取近似、求和、取极限)(直角坐标体积元素(柱面坐标与直角坐标的关系69 球面坐标系下计算三重积分球面坐标体积元素(球面坐标与直角坐标的关系使用对称性简化运算恰当选择坐标系计算三重积分(注意选择的原则)70 思考题1是非题非但被积函数其中Ω1是Ω在第一挂限的部分区域.因为虽然积分区域Ω关于坐标面xOy,zOx对称,关于z是奇函数.71 思考题2分别化为在柱坐标系和球坐标系下的累次积分.将累次积分思考题解答积分域V是由(1)化为柱面坐标xyo区域V向xOy平面投影得圆:72 (2)化为球面坐标得三角形区域(如图)zo积分域V是由积分域V的边界曲面在球坐标系下分别表示为:73 思考题3是非题非因为被积函数的积分范围是整个球体而非球表面.74 作业习题9.3(400页）75 苏教版四年级数学下册积的变化规律刘寨小学卫少芳 教学目标1.探索、发现“一个因数不变，另一个因数乘几，得到的积就等于原来的积乘几”的变化规律；能运用积的变化规律灵活地进行计算。2.经历观察、比较、猜想、验证和归纳等一系列的数学活动，体验探索和发现数学规律的经验，发展思维能力。 小明在计算“42×5”时，将因数5写成了50并进行了计算。问题一：小明能算出这个算式的正确答案吗？问题二：那他算出的积和正确的答案之间会有什么关系呢？ ①第一个因数不变，第二个因数乘2，得到的积等于原来的积乘2。②第一个因数不变，第二个因数乘10，得到的积等于原来的积乘10。③第二个因数不变，第一个因数乘4，得到的积等于原来的积乘4。④第二个因数不变，第一个因数乘5，得到的积等于原来的积乘5。 小结：一个因数不变，另一个因数乘几，得到的积就等于原来的积乘几。 你学会了吗？通过本课的学习，你有什么收获？还有哪些疑问？'