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'机器学习优化课件 内容介绍你见过的优化？无约束优化梯度下降法牛顿法约束优化二次规划非线性规划 Example 目标函数 问题来了，我们怎么求解呢？ 冰山一角梯度下降法、牛顿法 梯度下降法 梯度下降法 10J(0,1)梯度下降法 01J(0,1) 梯度下降法 梯度下降法 梯度下降法 小试牛刀-编程实现房屋价格预测问题：请尝试不同的步长设置 最佳‘步长’… 最速下降法 最速下降法 最速下降法 最速下降法 最速下降法DoyourememberHessianmatrix? 原来如此简单~~~ 最佳步长计算-编程试试看吧！！ 计算最佳步长计算-试试看 clearsymsx1x2;%定义符号变量fx=2*x1^2+x2^2;%定义符号函数X0=[1,1];%初值g=jacobian(fx,[x1,x2]);%求符号函数的梯度H=jacobian(g,[x1,x2]);%求符号函数的Hession矩阵x1=X0(1,1);x2=X0(1,2);%赋初值g0=eval(g);H0=eval(H);%求符号函数在x1=1、x2=1梯度、Hession矩阵k=0;fprintf("n")whilenorm(g0)>eps%停机判断条件lamda=g0*g0‘/(g0*H0*g0’);%求lamdafprintf("k=%2d,lamda=%19.16f,x1=%19.16f,x2=%19.16f,fx=%19.16f,norm(p)=%19.16fn",k,lamda,x1,x2,eval(fx),norm(g0))X0=X0-lamda*g0;x1=X0(1,1);x2=X0(1,2);g0=eval(g);H0=eval(H);k=k+1;end参考例子：Matlab代码实现SlideNo.28 你发现了吗？ 这个算法的优缺点？ 梯度下降-远不止如此（1）批量梯度下降速度比较慢，受内存的限制，不能再运行中加入新的样本进行运算（2）随机梯度下降随机梯度下降是通过每个样本来迭代更新一次（3）小批量梯度下降将批量梯度下降法中m替换成mini-batch，在此将mini-bach的size远小于m的大小，循环m/b次直到收敛或是循环次数达到 并没有结束… 前沿算法梯度下降的各种变体1.Momentum法2.Nesterov加速梯度法3.Adagrad法4.Adadelta法5.RMSprop法6.适应性动量估计法（Adam）其他手段：1.对SGD进行平行或分布式运算2.重排和递进学习3.批量标准化4.梯度噪声…. 休息一下~ 牛顿法“牛顿法”与牛顿的关系？？牛顿法最初由艾萨克·牛顿在《流数法》（MethodofFluxions，1671年完成，在牛顿去世后的1736年公开发表）中提出。 牛顿法 Doyouremember泰勒展开? DoyourememberHessianmatrix? 简单的计算步骤~ 再现房屋价格预测问题 这个算法的特点？ 牛顿法 牛顿法优点：牛顿法具有二阶收敛速度。对二次正定函数，仅需一步迭代即可达到最优解，具有二次终结性。牛顿法缺点：（1）牛顿法是局部收敛的，即初始点选择不当，可能会导致不收敛；（2）牛顿法不是下降算法，当二阶Hesse阵非正定时，不能保证是下降方向；（3）二阶Hesse阵必须可逆，否则算法将无法进行下去；（4）对函数分析性质要求苛刻，计算量大，仅适合小规模优化问题。 改进算法1.阻尼牛顿法：增加沿牛顿方向的一维搜索2.Goldstein-Price方法:将牛顿方法与最速下降法结合3.其他改进 总结 作业场景描述：一组登山运动员，为到达山谷最低处寻找水源，通过GPS定位当前位置的坐标为（0,1），海拔为2km。专家分析，此山走势可用函数z=(x-1)^4+y^2近似表达，请帮助登上运动员确定行走路线，快速找到水源。考察：分别运用最速下降法与牛顿法，比较收敛性。 牛顿法 继续努力！！ 二次规划最简单的约束非线性规划问题. 二次规划二次规划:带有二次目标函数和线性约束的最优化问题. 二次规划SlideNo.52 Matlab中求解二次规划 二次规划 二次规划 定义如果目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数,则最优化问题就叫做非线性规划问题．一般形式:（1）其中，是定义在Rn上的实值函数()nTnRxxxXÎ=,,,21L()()ïîïíì===³.,...,2,10m;1,2,...,0..ljXhiXgtsji非线性规划的基本概念 SlideNo.57 罚函数法罚函数法基本思想是通过构造罚函数把约束问题转化为一系列无约束最优化问题，进而用无约束最优化方法去求解．这类方法称为序列无约束最小化方法．简称为SUMT法．其一为SUMT外点法（惩罚函数法）其二为SUMT内点法（障碍函数法） 惩罚函数法PK障碍函数法 障碍函数法核心：在可行域X的内部与边界面较远的点上，障碍函数与原目标函数应尽可能的接近，而在接近边界面的点上，障碍函数取相当大的数值。 近似规划法的基本思想：将问题中的目标函数和约束条件近似为线性函数，并对变量的取值范围加以限制，从而得到一个近似线性规划问题，再求解，把其符合原始条件的最优解作为解的近似．近似规划法 Matlab求解非线性规划问题其中X为n维变元向量，G(X)与Ceq(X)均为非线性函数组成的向量。 SlideNo.67 SlideNo.68 SlideNo.69 作业面积S=100，a=2要求：采用lingo,matlab函数，自己选择优化算法求解均可。SlideNo.70 相似原理提供了解决这两个问题的理论基础。第一节水工模型实验研究的范围1.泄水建筑物水力学特性试验2.水电站水力学特性试验3.船闸水力学特性试验4.鱼道水力学特性试验5.其它专题研究 第二节水流相似理论一.相似特征是指原型与模型保持几何形状和几何尺寸相似，也就是原型和模型的任何一个相应线性长度保持一定的比例关系。为长度比尺式中1.几何相似 面积比尺体积比尺是指原型与模型的运动相似，即原型与模型流动中任何相应点的速度、加速度方向相同，大小成同一比例。或者说两个流动的速度场(或加速度场)是几何相似的。2.运动相似 设时间比尺：速度比尺加速度比尺根据定义，流速可以用长度除以时间表示，而加速度则要用速度除以时间表示。 由此可见，满足运动相似的流速比尺和加速度比尺都不是任意选定的，它们与时间比尺、长度比尺都是相互关联的。3.动力相似是指原型和模型的作用力相似，即原型和模型中作用于任何相应点的力都具有相同性质的力，而且方向相同，大小保持同一比例。 以上三个相似是模型和原型保持流动相似的重要特征。几何相似是运动相似和动力相似的前提条件，动力相似是决定运动相似的主导因素，而运动相似则是几何相似和动力相似的具体表现。它们相互联系，互为条件，三者统一完整，缺一不可。几何相似中的长度比尺是水工模型的重要参数，运动相似中的流速比尺是检验模型相似性的重要依据，而动力相似是模型设计的主要出发点。 二.相似准则1.牛顿普遍相似准则★模型与原型的牛顿数相等，这是流动相似的重要判据，称为牛顿相似准则。 2.重力相似准则实际工程中，由于流经闸、坝的水流，具有自由液面，因此起主导作用的力是重力，如果用重力代替牛顿相似准则中的F，换成是重力G，就可以满足原型与模型在单项力上的力学相似。此时的作用力比尺就是：将上式代入牛顿普遍相似准则 ★在重力起主导作用两个相似系统中，必须保证原型和模型的弗汝德数相等。因此重力相似准则，又称弗汝德数准则，模型与原型之间各物理量的比尺不能任意选择，必须遵循弗汝德数准则。现将各种物理量的比尺与模型比尺的关系推导如下：(1)流速比尺 (2)流量比尺(3)时间比尺(4)力的比尺若原型与模型的液体一样则 (5)压强比尺(6)功的比尺3.阻力相似准则或 （1）阻力平均方区的紊流阻力相似准则★水流在阻力平方区时，只要模型与原型的沿程水头损失系数相等，就可以满足模型与原型流动的阻力相似的要求，就可以用弗汝德数准则进行阻力相似模型的设计。(2)粘滞阻力相似准则 ★要实现粘滞力作用相似，就要满足模型与原型水流的雷诺数必须相等，这就是雷诺准则。(1)流速比尺(2)流量比尺(3)时间比尺（4）压强比尺 例题1：以重力相似原则设计的某水工模型，长度比尺；若原型中闸孔收缩断面处的平均流速，则确定模型中相应收缩断面处的平均流速。如果原型中过闸流量，则原型中相应的流量为多少？解：按重力相似原则设计水工模型因为所以由于 所以例题2：某大坝溢洪道为调节泄洪流量，拟设置闸门进行控制，为此需要进行水工模型试验。已知原型设计流量，三 日洪水总量。试进行模型设计。解：由于过闸水流主要受重力控制，所以要按重力相似准则设计；同时考虑过闸水流紊动的特点，还要满足紊动阻力相似。（1）确定模型流量：由 （2）确定原型闸小护坦中部流速（3）确定模型洪水周期和洪量 所以水工模型中的放水时间为16.11d，控制放水流量是2593m3。 第三节水工模型设计的几点说明（1）如果原型水流是紊流，则模型中的水流也应该是紊流，在设计河道模型时要选择几个流速较小的断面进行校核。(2)原型水流是缓流或急流，模型中也相应为缓流或急流。(3)在阻力相似的模型中，应该保持粗糙系数的相似，并检验模型水流是否在阻力平方区。 同学们再见！'