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'09代数系统 本章说明本章的主要内容一元和二元运算定义及其实例二元运算的性质代数系统定义及其实例子代数与后面各章的关系是后面典型代数系统的基础 9.1二元运算及其性质9.2代数系统9.3代数系统的同态与同构本章小结作业本章内容 一元运算定义9.2设S为集合，函数f：S→S称为S上的一元运算，简称为一元运算。例10.3（1）求一个数的相反数是整数集合Z、有理数集合Q和实数集合R上的一元运算。（2）求一个数的倒数是非零有理数集合Q*、非零实数集合R*上的一元运算。（3）求一个复数的共轭复数是复数集合C上的一元运算。 （4）在幂集P(S)上，如果规定全集为S，则求集合的绝对补运算是P(S)上的一元运算。（5）设S为集合，令A为S上所有双射函数的集合，ASS，求一个双射函数的反函数为A上的一元运算。（6）在n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)上，求一个矩阵的转置矩阵是Mn(R)上的一元运算。一元运算举例 可以用、、·、、、等符号表示二元或一元运算，称为算符。设f:S×S→S是S上的二元运算，对任意的x,y∈S，如果x与y的运算结果为z，即f()＝z，可以利用算符简记为xy=z。对一元运算，x的运算结果记作x。例题设R为实数集合，如下定义R上的二元运算：x,y∈R，xy=x。那么34=3，0.5(3)=0.5。二元与一元运算的算符 函数的解析公式运算表（表示有穷集上的一元和二元运算）二元运算的运算表anan…ana2ana1an……………a2an…a2a2a2a1a2a1an…a1a2a1a1a1an…a2a1一元运算的运算表anan……a2a2a1a1aiai二元与一元运算的表示 例9.4设S={1,2}，给出P(S)上的运算和~的运算表，其中全集为S。的运算表{1}{2}{1,2}{1,2}{1}{1,2}{2}{2}{2}{1,2}{1}{1}{1,2}{2}{1}{1,2}{2}{1}~的运算表{1,2}{1}{2}{2}{1}{1,2}~aiai解答例9.4 例9.5设S={1,2,3,4}，定义S上的二元运算如下：xy＝(xy)mod5，x,y∈S求运算的运算表。解答例9.5123411234224133314244321 定义9.3设为S上的二元运算，如果对于任意的x,y∈S都有xy=yx，则称运算在S上满足交换律。定义9.4设为S上的二元运算，如果对于任意的x,y,z∈S都有(xy)z=x(yz)，则称运算在S上满足结合律。说明：若+适合结合律，则有(x+y)+(u+v)＝x+y+u+v。定义9.5设为S上的二元运算，如果对于任意的x∈S有xx=x，则称运算在S上满足幂等律。如果S中的某些x满足xx=x，则称x为运算的幂等元。举例：普通的加法和乘法不适合幂等律。但0是加法的幂等元，0和1是乘法的幂等元。二元运算的性质 例题Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实矩阵集合,n2；P(B)为幂集；AA为从A到A的函数集，|A|2。集合运算交换律结合律幂等律Z,Q,R普通加法+普通乘法有有有有无无Mn(R)矩阵加法+矩阵乘法有无有有无无P(B)并∪交∩相对补对称差有有无有有有无有有有无无AA函数复合无有无 定义9.6设和为S上两个二元运算，如果对于任意的x,y,z∈S，有x(yz)＝(xy)(xz)（左分配律）(yz)x＝(yx)(zx)（右分配律）则称运算对运算满足分配律。说明：若*对运算分配律成立，则*对运算广义分配律也成立。x(y1y2…yn)＝(xy1)(xy2)…(xyn)(y1y2…yn)x＝(y1x)(y2x)…(ynx)定义9.7设和为S上两个可交换的二元运算，如果对于任意的x,y∈S，都有x(xy)＝xx(xy)＝x则称运算和满足吸收律。二元运算的性质 Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实矩阵集合，n2；P(B)为幂集；AA为从A到A的函数集，|A|2。集合运算分配律吸收律Z,Q,R普通加法+与乘法对+可分配+对不分配无Mn(R)矩阵加法+与乘法对+可分配+对不分配无P(B)并∪与交∩∪对∩可分配∩对∪可分配有交∩与对称差∩对可分配无例题 定义9.8设为S上的二元运算，如果存在元素el（或er）S，使得对任意x∈S都有elx=x(或xer=x)则称el(或er)是S中关于运算的一个左单位元(或右单位元)。若e∈S关于运算既是左单位元又是右单位元，则称e为S上关于运算的单位元。单位元也叫做幺元。运算可以没有左单位元和右单位元。运算可以只有左单位元。运算可以只有右单位元。运算可以既有左单位元，又有右单位元。说明二元运算中的特异元素—单位元 二元运算中的特异元素—零元定义9.9设为S上的二元运算，如果存在元素θl（或θr）∈S，使得对任意x∈S都有θlx=θl(或xθr=θr)，则称θl(或θr)是S上关于运算的左零元(或右零元)。若θ∈S关于运算既是左零元又是右零元，则称θ为S上关于运算的零元。运算可以没有左零元和右零元。运算可以只有左零元。运算可以只有右零元。运算可以既有左零元，又有右零元。说明 二元运算中的特异元素—逆元定义9.10设为S上的二元运算，eS为运算的单位元，对于x∈S，如果存在yl（或yr）∈S使得ylx＝e（或xyr＝e）则称yl（或yr）是x的左逆元（或右逆元）。若y∈S既是x的左逆元又是x的右逆元，则称y为x的逆元。如果x的逆元存在，则称x是可逆的。运算可以没有左逆元和右逆元。运算可以只有左逆元。运算可以只有右逆元。运算可以既有左逆元，又有右逆元。说明 特异元素的实例集合运算单位元零元逆元Z,Q,R普通加法普通乘法01无0x的逆元xx的逆元x1Mn(R)矩阵加法矩阵乘法n阶全0矩阵n阶单位矩阵无n阶全0矩阵x逆元xx的逆元x1（x可逆）P(B)并∪交∩BB的逆元为B的逆元为B 定理9.1定理9.1设为S上的二元运算，el、er分别为运算的左单位元和右单位元，则有el=er=e且e为S上关于运算的唯一的单位元。el＝eler(er为右单位元)eler＝er(el为左单位元)所以el=er，将这个单位元记作e。假设e也是S中的单位元，则有e=ee=e所以，e是S中关于运算的唯一的单位元。证明 定理9.2定理9.2设为S上的二元运算，l和r分别为运算的左零元和右零元，则有l=r=且为S上关于运算的唯一的零元。l＝lr(r为左零元)lr＝r(l为右零元)所以l=r，将这个零元记作。假设也是S中的零元，则有==所以，是S中关于运算的唯一的零元。证明 定理9.3定理9.3设为S上的二元运算，e和分别为运算的单位元和零元，如果S至少有两个元素，则e。用反证法。假设e=，则x∈S有x＝xe＝x＝这与S中至少含有两个元素矛盾。所以，假设不成立，即e。证明 定理9.4定理9.4设为S上可结合的二元运算，e为该运算的单位元，对于x∈S，如果存在左逆元yl和右逆元yr，则有yl=yr=y且y是x的唯一的逆元。由ylx=e和xyr=e，得证明yl=yle令yl=yr=y，则y是x的逆元。=yl(xyr)=(ylx)yr=eyr=yr假若yS也是x的逆元，则y=ye=y(xy)=(yx)y=ey=y所以y是x唯一的逆元，记作x1。 消去律定义9.11设为S上的二元运算，如果对于任意的x,y,z∈S，满足以下条件：（1）若xy＝xz且x，则y＝z（左消去律）（2）若yx＝zx且x，则y＝z（右消去律）则称运算满足消去律。例如：整数集合上的加法和乘法都满足消去律。幂集P(S)上的并和交运算一般不满足消去律。 例9.6例9.6对于下面给定的集合和该集合上的二元运算，指出该运算的性质，并求出它的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。（1）Z+，x,y∈Z+，xy＝lcm(x,y)，即求x和y的最小公倍数。（2）Q，x,yQ，xy=x+y-xy解答（1）运算可交换、可结合、是幂等的。xZ+，x1=x，1x=x，1为单位元。不存在零元。只有1有逆元，是它自己，其他正整数无逆元。 例9.6（2）Q，x,yQ，xy=x+y-xy运算满足交换律，因为x,yQ，有xy=x+y-xy=y+x-yx=yx运算满足结合律，因为x,y,zQ，有(xy)z=(x+y-xy)z=x+y-xy+z-(x+y-xy)z=x+y+z-xy-xz-yz+xyzx(yz)=x(y+z-yz)=x+(y+z-yz)-x(y+z-yz)=x+y+z-xy-xz-yz+xyz运算不满足幂等律，因为2Q，但22=2+2-22＝02运算满足消去律，因为x,y,zQ，x1(1为零元)，有xy=xzx+y-xy=x+z-xzy-z=x(y-z)y=z由于是可交换的，所以右消去律成立。同理可证明左消去律成立，所以消去律成立。 例9.60是运算的单位元，因为xQ，有x0=x+0-x0=x=0x1是运算的零元，因为xQ，有x1=x+1-x1=1=1xxQ，欲使xy=0和yx=0成立，即x+y-xy=0得所以， 例9.7例9.7设A={a,b,c}，A上的二元运算、、如表所示。(1)说明、、运算是否满足交换律、结合律、消去律和幂等律。(2)求出关于、、运算的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。abcaabcbbcaccab运算满足交换律、结合律和消去律，不满足幂等律。单位元是a，没有零元，且a-1=a，b-1=c，c-1=b。运算满足交换律、结合律和幂等律，不满足消去律。单位元是a，零元是b，只有a有逆元，a-1=a。运算满足结合律和幂等律，不满足交换律和消去律。没有单位元，没有零元，没有可逆元。解答abcaabcbbbbccbcabcaabcbabccabc复习分析 9.2代数系统定义9.12非空集合S和S上k个一元或二元运算f1,f2,…,fk组成的系统称为一个代数系统，简称代数，记做。实例：、、都是代数系统，其中+和分别表示普通加法和乘法。是代数系统，其中＋和分别表示n阶(n≥2)实矩阵的加法和乘法。是代数系统，其中∪和∩为并和交，~为绝对补。是代数系统，其中Zn＝{0,1,2,…,n-1}和分别表示模n的加法和乘法。 集合（规定了参与运算的元素）运算（只讨论有限个二元和一元运算）代数常数在定义代数系统的时候，如果把零元和单位元也作为系统的性质，称这些元素为该代数系统的特异元素或代数常数。有时为了强调某个代数系统是含有代数常数的系统，也可以把这些代数常数列到系统的表达式中。例如：代数系统。代数系统的成分 列出所有的成分：集合、运算、代数常数（如果存在）例如，列出集合和运算，在规定系统性质时不涉及具有单位元的性质（无代数常数）例如，用集合名称简单标记代数系统例如在前面已经对代数系统作了说明的前提下，上述两个代数系统可以简记为Z,P(S)代数系统的表示 定义9.13如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运算的元数相同，且代数常数的个数也相同，则称这两个代数系统具有相同的构成成分，也称它们是同类型的代数系统。例如V1=V2=V1、V2是同类型的代数系统，因为它们都含有2个二元运算，1个一元运算，2个代数常数。但是它们的运算性质不一样。同类型的代数系统V1=V2=+和·可交换、可结合·对+可分配+和·不满足幂等律+与·没有吸收律+和·满足消去律∪和∩可交换、可结合∪和∩互相可分配∪和∩都有幂等律∪和∩满足吸收律∪和∩一般不满足消去律 在规定了一个代数系统的构成成分，即集合、运算以及代数常数以后，如果在对这些性质所遵从的算律加以限制，那么满足这些条件的代数系统就具有完全相同的性质，从而构成了一类特殊的代数系统。例如：代数系统V＝，如果*是可结合的，则称V为半群。如、等都是半群。从代数系统的构成成分和遵从的算律出发，将代数系统分类，然后研究每一类代数系统的共同性质，并将研究的结果运用到具体的代数系统中去。(抽象代数的基本方法)以后各章分别就几类重要的代数系统进行分析。代数系统地说明 定义9.14设V＝是代数系统，BS，如果B对f1,f2,…,fk都是封闭的，且B和S含有相同的代数常数，则称是V的子代数系统，简称子代数。简记为B。例如：N是的子代数，N也是的子代数。N{0}是的子代数，但不是的子代数。子代数和原代数具有相同的成分，运算性质也相同，是同类型的代数系统，在许多方面与原代数非常相似，不过可能小一些。对于任何代数系统，其子代数一定存在。说明子代数 最大的子代数：就是V本身。最小的子代数：如果令V中所有代数常数构成的集合是B，且B对V中所有的运算都是封闭的，则B就构成了V的最小的子代数。平凡的子代数：最大和最小的子代数称为V的平凡的子代数。真子代数：若B是S的真子集，则B构成的子代数称为V的真子代数。子代数的相关概念 例9.8设V=，令nZ={nz|zZ}，n为自然数，则nZ是V的子代数。任取nZ中的两个元素nz1和nz2(z1,z2Z)，则有nz1+nz2＝n(z1+z2)nZ即nZ对+运算是封闭的。又0=n0nZ所以，nZ是V的子代数。证明当n=1和0时，nZ是V的平凡子代数，其他的都是V的非平凡的真子代数。说明例9.8 积代数定义9.15设V1=和V2=是代数系统，其中∘和是二元运算.V1与V2的积代数V=,,S1S2,∙=例V1=,V2=,积代数,ZM2(R),∘= 积代数的性质设V1=和V2=是代数系统，其中∘和是二元运算.V1与V2的积代数是V=(1)若∘和运算是可交换的，那么∙运算也是可交换的(2)若∘和运算是可结合的，那么∙运算也是可结合的(3)若∘和运算是幂等的，那么∙运算也是幂等的(4)若∘和运算分别具有单位元e1和e2，那么∙运算也具有单位元(5)若∘和运算分别具有零元1和2，那么∙运算也具有零元<1,2>(6)若x关于∘的逆元为x1,y关于的逆元为y1，那么关于∙运算也具有逆元 9.3代数系统的同态与同构同态映射的定义同态映射的分类单同态、满同态、同构自同态同态映射的实例满同态映射的性质 定义9.16设V1=和V2=是代数系统，其中∘和是二元运算.f:S1S2,且x,yS1f(x∘y)=f(x)f(y)则称f为V1到V2的同态映射，简称同态.同态映射的定义 同态映射的定义(续)例1V=,判断下面的哪些函数是V的同态？(1)f(x)=|x|(2)f(x)=2x(3)f(x)=x2(4)f(x)=1/x(5)f(x)=x(6)f(x)=x+1解(1)是同态,f(xy)=|xy|=|x||y|=f(x)f(y)(4)是同态,f(xy)=1/(xy)=1/x1/y=f(x)f(y)(3)是同态,f(xy)=(xy)2=x2y2=f(x)f(y)(2)不是同态，f(22)=f(4)=8,f(2)f(2)=44=16(5)不是同态，f(11)=f(1)=1,f(1)f(1)=(1)(1)=1(6)不是同态，f(11)=f(1)=2,f(1)f(1)=22=4 特殊同态映射的分类同态映射如果是单射，则称为单同态；如果是满射，则称为满同态，这时称V2是V1的同态像，记作V1V2；如果是双射，则称为同构，也称代数系统V1同构于V2，记作V1V2.对于代数系统V，它到自身的同态称为自同态.类似地可以定义单自同态、满自同态和自同构. 例2(1)设V=，aZ，令fa:ZZ，fa(x)=ax那么fa是V的自同态.因为x,yZ，有fa(x+y)=a(x+y)=ax+ay=fa(x)+fa(y)当a=0时称f0为零同态；当a=1时，称fa为自同构；除此之外其他的fa都是单自同态.(2)设V1=,V2=，其中Q*=Q{0}，令f:QQ*,f(x)=ex那么f是V1到V2的同态映射，因为x,yQ有f(x+y)=ex+y=exey=f(x)f(y).不难看出f是单同态.同态映射的实例 (3)V=,fp：ZnZn,fp(x)=(xp)modn，p=0,1,…,n1.x,yZn,fp(xy)=((xy)p)modn=(xp)modn(yp)modn=fp(x)fp(y)例如，n=6.f0(x)=0,f1(x)=x,f2(0)=f2(3)=0,f2(1)=f2(4)=2,f2(2)=f2(5)=4f3(0)=f3(2)=f3(4)=0,f3(1)=f3(3)=f3(5)=3f4(0)=f4(3)=0,f4(1)=f4(4)=4,f4(2)=f4(5)=2f5(0)=0,f5(1)=5,f5(2)=4,f5(3)=3,f5(4)=2,f5(5)=1同态映射的实例(续) (4)V1=,V2=,f:ZZn,f(x)=(x)modnx,yZ,f(x+y)=(x+y)modn=(x)modn(y)modn=f(x)f(y)例如，n=3.f(3x)=0,f(3x+1)=1,f(3x+2)=2f为满同态.同态映射的实例(续) 满同态映射的性质设V1和V2是代数系统，f:V1V2是满同态映射,则(1)若V1中的∘运算是可交换(可结合,幂等)的，那么V2中对应的∘运算也是可交换(可结合、幂等的)的.(2)若V1中的∘对运算是可分配的，那么V2中对应的∘对运算也是可分配的.(3)若V1中的∘和运算是可吸收的，那么V2中对应的∘和运算也是可吸收的.(4)若V1中∘运算具有单位元e1(或零元1)，那么f(e1)(或f(1))是V2中关于对应的∘运算的单位元(或零元).(5)若x关于V1中∘运算的逆元为x1,那么f(x)在V2中关于对应的∘运算的逆元为f(x1). 本章主要内容构成代数系统的基本成分非空集合集合上若干个封闭的二元和一元运算代数常数二元运算性质和特异元素同类型的与同种的代数系统子代数的定义与实例 本章学习要求判断给定集合和运算能否构成代数系统。判断给定二元运算的性质和特异元素。了解同类型和同种代数系统的概念。了解子代数的基本概念。 作业习题九：1、4、5、8、9、10、11、15、16、17 运算的性质与特异元素二元运算f：S×S→S一元运算f：S→S交换律x,y∈S，xy＝yx结合律x,y,z∈S，(xy)z＝x(yz)幂等律x∈S，xx＝x消去律x,y∈S，xy＝xz且xy＝zyx＝zx且xy＝z分配律x,y,z∈S，x(yz)＝(xy)(xz)，(yz)x＝(yx)(zx)吸收律x,y∈S，x(xy)＝x，x(xy)＝x单位元ex∈S，xe＝ex＝x零元x∈S，x＝x＝幂等元xx＝x可逆元xy＝yx＝e 通过运算表判别运算性质的方法交换律的表沿主对角线对称。幂等律的表主对角线与每一行和每一列元素相同。如果在运算表中的某行或某列(除了零元所在的行或列之外)有两个相同的元素，那么运算不满足消去律。有零元的表，当且仅当该元素所对应的行和列与该元素相同。有单位元的表，当且仅当该元素所对应的行和列依次与运算表的行和列相同。a与b互逆，当且仅当以这两个元素为行和列的交点处为单位元。如果元素x在主对角线中排列的位置与表头中的位置一致，那么该元素是幂等元。 五、蛤粉炒（一）定义：将净制或切制后的药物与适量蛤粉共同拌炒的方法。（二）辅料蛤粉是文蛤等贝壳洗净煅制后粉碎的细粉，其味咸性寒，功能清热利湿，软坚化痰。由于其传热缓慢，颗粒细小，适用于烫制动物胶类药物 （三）目的1．使药物质地酥脆，便于粉碎和制剂。2．降低药物滋腻之性，矫正不良嗅味。3．增强某些药物清热化痰作用。（四）炮制方法将研细过筛的蛤粉置热锅中，中火加热至滑利易翻动时，投入药物翻炒至膨胀鼓起，内部疏松时取出，筛去蛤粉，放凉。“蛤粉控制火候法”“炒烫预试火候法”　　药物每100kg，用蛤粉30～50kg。 注意事项1.胶块切成丁状，大小分档，分别炒制。　2.蛤粉炒时应适当控制火力，防止焦糊或烫僵。　3.下锅后应快速翻动，防止粘连，造成不圆整。　4.炒制同种药物，蛤粉可反复使用，直至颜色加深后及时更换 阿胶来源本品为马科动物驴的皮经煎煮、浓缩制成的固体胶。炮制规格阿胶、阿胶珠炮制方法阿　胶取阿胶块，置文火上烘软，切成小方块。蛤粉炒阿胶蛤粉加热至灵活状态，投入分档的阿胶丁，不断翻埋，烫至鼓起呈圆球状，内无溏心为度。阿胶每100kg，用蛤粉30～50kg。蒲黄炒阿胶蒲黄炒至微变色，投入分档的阿胶丁，翻炒至鼓起呈圆球状，内无溏心。阿胶每100kg，用蒲黄30～50kg。 成品性状阿　胶小方块，黑色或乌黑色，质坚硬。蛤粉炒阿胶圆球形，灰白色或灰褐色，质松泡蒲黄炒阿胶　圆球形，棕褐色，质松泡。 炮制作用及应用阿　胶生用长于滋阴补血，用于血虚痿黄，眩晕心悸，心烦失眠，虚风内动，温燥伤肺，干咳无痰。蛤粉炒阿胶炒后降低滋腻之性，矫嗅矫味，蛤粉炒善于补肺润燥，用于阴虚咳嗽，久咳少痰或痰中带血。烫后质地酥脆，宜入丸散。蒲黄炒阿胶蒲黄炒止血安络力强，多用于阴虚咯血，崩漏，便血。 鹿角胶 【来源】为鹿角经水煎熬、浓缩制成的固体胶。【处方用名】鹿角胶、鹿角胶珠【性状】本品为扁方形块，长3～4cm，厚约0.6cm。黄棕色或红棕色，半透明，有的上部有黄白色泡沫层。质脆，易碎，断面光亮。气微，味微甜。 【炮制】将鹿角锯成长6～10cm的段，漂泡至水清，分次水煎，滤过，合并滤液（或加入明矾细粉少量），静置，滤取胶液，用文火浓缩（可加适量豆油、冰糖、黄酒）至稠膏状，冷凝，切块，阴干。【性味】甘、咸，温。【归经】归肾、肝经。 【功能主治】温补肝肾，益精养血。用于阳痿滑精，腰膝酸冷，虚劳羸瘦，崩漏下血，便血尿血，阴疽肿痛。【用法用量】3～6g，烊化兑服。【贮藏】密闭，置阴凉干燥处。 黄明胶 【别名】水胶（《外台》），牛皮胶（《本草图经》），海犀胶（《纲目》），广胶、明胶（《本经逢原》）。【处方用名】黄明胶、黄明胶珠【来源】为牛科动物黄牛的皮所熬的胶。 【制法】将干燥的牛皮，铡成小方块，置清水中浸洗2日，经常搅拌换水，至牛皮柔软时洗净取出。入铜锅内，加入约5倍量的清水，加热使徐徐沸腾，并随时添水，每24小时滤取清液，如此反复3次，将全部滤液用明矾沉淀，倾取清汁，再入铜锅内加热浓缩，至滴于滤纸上不化为度，加入黄酒或冰糖等辅料收胶，倒入胶盘内，俟冷，切成小块，晾干。 【性味】味甘；性平【归经】肺；大肠经【功能主治】滋阴润燥；养血止血；活血消肿；解毒。主虚劳肺痿；咳嗽咯血；吐衄；崩漏；下痢便血；跌打损伤；痈疽疮毒；烧烫伤【用法用量】内服：水酒烊冲，3-9g；或入丸、散。外用：适量，烊化涂。 思考题1、蛤粉吵的概念、成品质量要求、操作方法、注意事项和炮制作用。2.蛤粉炒阿胶的操作方法及炮制作用？'