最新第八章-空间解析几何与向量代数(同济六版)课件PPT.ppt 106页

'进入夏天，少不了一个热字当头，电扇空调陆续登场，每逢此时，总会想起那一把蒲扇。蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常用的一件物品。　　记忆中的故乡，每逢进入夏天，集市上最常见的便是蒲扇、凉席，不论男女老少，个个手持一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨叨着“怎么这么热”，于是三五成群，聚在大树下，或站着，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑边乘凉。孩子们却在周围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听到“强子，别跑了，快来我给你扇扇”。孩子们才不听这一套，跑个没完，直到累气喘吁吁，这才一跑一踮地围过了，这时母亲总是，好似生气的样子，边扇边训，“你看热的，跑什么？”此时这把蒲扇，是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲的味道！　　蒲扇是中国传统工艺品，在我国已有三千年多年的历史。取材于棕榈树，制作简单，方便携带，且蒲扇的表面光滑，因而，古人常会在上面作画。古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即今日的蒲扇，江浙称之为芭蕉扇。六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非圆，轻巧又便宜的蒲扇。　　蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，也走过了我们的半个人生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长长的时间隧道，袅第八章-空间解析几何与向量代数(同济六版) 目录上页下页返回结束§1向量及其线性运算§2数量积，向量积§3平面及其方程§4空间直线及其方程§5曲面及其方程§6空间曲线及其方程 目录上页下页返回结束第一次课四、利用坐标作向量的线性运算一、向量的概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影§1向量及其线性运算 【例1】如果四边形对角线互相平分，则它是解:如图M为四边形ABCD对角线的交点,则由已知所以所以ABCD为平行四边形.目录上页下页返回结束 ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空间直角坐标系坐标原点坐标轴(横轴)(纵轴)(竖轴)坐标面卦限(八个)zox面Ⅰ1.空间直角坐标系(右手系)目录上页下页返回结束 向径在直角坐标系下坐标轴上的点P,Q,R;坐标面上的点A,B,C点M特殊点的坐标:原点O(0,0,0);(称为点M的坐标)目录上页下页返回结束 坐标轴:坐标面:目录上页下页返回结束 2.向量的坐标表示(1)设点M(x,y,z),则分别表示坐标轴x,y,z上的单位向量目录上页下页返回结束 四、利用坐标作向量的线性运算1.设λ为实数，则目录上页下页返回结束2.已知两点则 3.平行向量对应坐标成比例:【例2】P8例2目录上页下页返回结束 目录上页下页返回结束【例3】已知两点及实数λ≠-1在直线AB上求一点M,使解:设M的坐标为如图所示由已知 由得定比分点公式:当λ=1时，点M为AB的中点,于是得中点公式:目录上页下页返回结束 五、向量的模、方向角、投影1.向量的模:设则由勾股定理得有设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则2.两点间的距离公式【例】P10例4,5,6目录上页下页返回结束 3.方向角与方向余弦(1)夹角:(2)方向角:向量与三坐标轴的夹角,,称为方向角,,的方向余弦(3)方向余弦：目录上页下页返回结束 【例4】P11例8方法2:设则由目录上页下页返回结束 4.向量在轴上的投影(1)定义:过M作平面交轴于设轴上的单位向量为则λ称为在上的投影,记为注：投影λ是一个数，当与同向时为正,反向时为负.目录上页下页返回结束 (2)向量在轴上的投影则(3)投影的性质目录上页下页返回结束 【作业】P12Ex8-14,5,11,12,14,17,19目录上页下页返回结束 目录上页下页返回结束第二次课§2数量积,向量积一、数量积的数量积等于两向量的长度与它们夹1.De2.1:角的余弦的乘积,记为即:2.由投影性质: 目录上页下页返回结束3.性质两两之间的数量积4.1110000005.运算规律见P14-15【例5】P15例1 目录上页下页返回结束6.数量积的坐标表示法设特别：则 目录上页下页返回结束5.向量夹角余弦的坐标表达式【例6】P16例2 目录上页下页返回结束【例7】试在所确定的平面内找一个与垂直的解：由于∥,故与确定一个平面设单位向量,其中取λ=1，则μ=3故所求的单位向量 目录上页下页返回结束二、向量积的向量积是满足下列条件的一个向量，1.De2.2:2.性质:记为与都垂直；构成右手系∥有一个为零向量 目录上页下页返回结束两两之间的数量积3.4.运算规律 目录上页下页返回结束5.向量积的坐标表示法设则 目录上页下页返回结束 目录上页下页返回结束解：可取【例8】求与都垂直的单位向量,其中故所求的单位向量【例9】P19例5 【作业】P22Ex8-21,3,6,7,8目录上页下页返回结束 目录上页下页返回结束第三次课§3平面及其方程一、点法式平面方程给出平面Π上一点P0(x0,y0,z0)及垂直于1.引例1:平面Π的一个向量的法向量),求平面Π的方程.(称为Π解：设P(x,y,z)为Π上任意一点，则由题意有 目录上页下页返回结束已知点(x0,y0,z0)∈Π,(A,B,C)⊥Π,则2.点法式平面方程【例】P38例1【例10】P38例2点法式方程Π： 目录上页下页返回结束平面一般方程Π:二.平面的一般方程将点法式方程进行化简并合并同类项,得说明:①D=0,Π过原点；②A=0,Π平行于x轴；③B=0,Π平行于y轴；④C=0,Π平行于z轴；对于④法向量⊥z轴,⊥z轴上的所有向量.【例11】P40例3 目录上页下页返回结束三.截距式平面方程设Π与x,y,z轴的截距分别为a,b,c,即:1.引例2:P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c),P(a,0,0)R(0,0,c)Q(0,b,0)解:设Π:将P,Q,R代入得求平面Π的方程.∴截距式平面方程Π: 目录上页下页返回结束【例11】求过点解：P1(1,0,-1),P2(-2,1,3)且与向量平行的平面方程Π.又过点P1(1,0,1)，所以Π：即： 目录上页下页返回结束三.两平面的夹角：(两平面法向量的夹角)锐角1.De2.3: 目录上页下页返回结束2.性质【例】P41例5【例12】P41例6 目录上页下页返回结束四.点到平面的距离求P0到π的距离P0N.引例3:任取则由数量积的性质 目录上页下页返回结束 内容小结1.平面基本方程:一般式点法式截距式目录上页下页返回结束2.点到平面的距离 3.平面与平面之间的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:目录上页下页返回结束 【作业】P42Ex8-51,2,3,4(单数),5，7，9目录上页下页返回结束 目录上页下页返回结束第四次课§4空间直线及其方程一、直线的一般方程(两平面的交线)二、直线的对称式方程与参数方程引例:求过点M0(x0,y0,z0),且与向量在L上任取一点M(x,y,z)平行的直线方程L 目录上页下页返回结束1.对称式方程:由,则对应元素成比例即：(1)当分母有一个为0时,分子也为0;对称式方程(2)当分母有两个为0时,另一个分子任意例如：例如： 目录上页下页返回结束2.参数方程:令参数方程(1)方向则3.说明:称为方向向量.(2)m,n,p称为直线L的一组方向数.L方向余弦(3)的方向余弦称为直线 目录上页下页返回结束∴直线方程L为【例13】求过点P0(-1,0,2)且垂直于平面Π:x-y+3z+1=0的直线方程L.解:设Π的法向量由从而可取 目录上页下页返回结束【例14】将直线L:化为对称式方程.解:设由Π1,Π1的交线均垂直于故可取直线L的 目录上页下页返回结束不妨取在L上任取一点,不妨取z=0则∴L上一点M0(1,2,0)L的对称式方程为【例14】将直线L:化为对称式方程. 目录上页下页返回结束【例15】求过点P0(-1,4,3)且与L1:都垂直的直线方程L.L2:解:L1的方向向量L2的方向向量L的方向向量L的直线方程 目录上页下页返回结束三、两直线的夹角1.计算公式:设【例16】P47例4【例17】P47例5(两直线方向向量的夹角)【例】P45例2 目录上页下页返回结束2.性质: 目录上页下页返回结束四、直线与平面的夹角直线与它在平面上投影直线的夹角L的方向向量:Π的法向量:设 目录上页下页返回结束取的距离.过P0作Π⊥L,交L于N,解:【例18】求过点P0(1,1,1)到直线令则代入到①中得t=-1,∴N(0,0,2)P0到L的距离①②将t=-1代入②得【例19】P47例6 目录上页下页返回结束五、平面束方程设且Π1∥Π2,作Π则称Π为过L的平面束方程，该方程为过L但除Π2的所有平面方程.【例20】P48例7 1.空间直线方程一般式对称式参数式内容小结目录上页下页返回结束 直线2.线与线的关系直线夹角公式:目录上页下页返回结束 平面:L⊥L//夹角公式：3.面与线间的关系直线目录上页下页返回结束 【作业】P49Ex8-61,2,3,5，7,8，11，13，15目录上页下页返回结束课堂练习 目录上页下页返回结束第五次课§5曲面及其方程一、曲面方程的定义二、一些特殊的曲面方程三、二次曲面 目录上页下页返回结束一、曲面方程的定义设动点P(x,y,z)组成的曲面S与三元方程(2)不在S上的任意点都不满足(*)，F(x,y,z)=0(*),有如下关系:(1)S上的任意一点P都满足方程(*);则称(*)为S的方程. 目录上页下页返回结束二、一些特殊的曲面方程1.球面:与定点M0(x0,y0,z0)保持距离为R的点的轨迹称为球.设轨迹上的点P(x,y,z),则 2.旋转曲面定义:一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴.例如:目录上页下页返回结束 故旋转曲面方程为当绕z轴旋转时,若点则有则有该点转到(1)yoz面内曲线C:f(y,z)=0(y≥0)绕z轴旋转一周后所得的曲面方程.目录上页下页返回结束 (3)xoy面内曲线C:f(x,y)=0绕x轴旋转一周后所得的曲面方程:(4)xoy面内曲线C:f(x,y)=0绕y轴旋转一周后所得的曲面方程:(2)yoz面内曲线C:f(y,z)=0绕y轴旋转一周后所得的曲面方程:目录上页下页返回结束 目录上页下页返回结束3.柱面平行于定直线,并沿着曲线C移动的直线L形成的轨迹叫柱面.平行于z轴.圆柱面：抛物柱面：平行于x轴.平行于y轴. 三、二次曲面三元二次方程其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面.(二次项系数不全为0)目录上页下页返回结束 1.椭球面(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆目录上页下页返回结束 2.圆锥面,椭圆锥面y=z绕着z轴旋转一周而得的曲面(a,b为正数)在平面z=t上的截痕为圆.在平面z=t上的截痕为椭圆.直纹面目录上页下页返回结束 (1).单叶双曲面(a,b,c为正数)直纹面3.双曲面目录上页下页返回结束 (2).双叶双曲面双曲线椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:双曲线1单叶双曲面-1双叶双曲面(a,b,c为正数)在平面y=y1上的截痕为在平面x=x1上的截痕为在平面z=z1(|z1|>c)上的截痕为目录上页下页返回结束 4.抛物面(1)椭圆抛物面(2)双曲抛物面（鞍形曲面）特别,当a=b时为绕z轴的旋转抛物面.目录上页下页返回结束 【作业】P31Ex8-31,2,5，6,8(1,3)目录上页下页返回结束 目录上页下页返回结束§5空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影 一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组目录上页下页返回结束 C:表示圆柱面与平面的交线C【例21】画出下列曲线目录上页下页返回结束 表示上半球面与圆柱面的交线C.目录上页下页返回结束 目录上页下页返回结束P37题1(1)P37题1(2) 目录上页下页返回结束P37题1(3) 目录上页下页返回结束P37题2(1) 思考:当|b|<3时,交线情况如何?P37题2(2)对平面y=b当|b|>3时,交线情况如何?目录上页下页返回结束 二、空间曲线的参数方程将曲线C上的动点坐标x,y,z表示成参数t的函数:称为空间曲线的参数方程.例如,圆柱螺旋线的参数方程为当θ=2π时上升高度,称为螺距.目录上页下页返回结束 【例22】将曲线化为参数方程解:根据第一方程引入参数θ代入到第二个方程得所以参数方程为目录上页下页返回结束 三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线C的一般方程为①消去z得投影柱面则C在xoy面上的投影曲线C´为②消去x得C在yoz面上的投影曲线方程③消去y得C在zox面上的投影曲线方程目录上页下页返回结束 【例23】求下列曲线的投影曲线方程在xoy面上的投影曲线方程为目录上页下页返回结束 所围圆域:在xoy面上的投影曲线方程为目录上页下页返回结束 P37题7目录上页下页返回结束 (4)求曲线绕z轴旋转的曲面与平面的交线在xoy平面的投影曲线方程.解：旋转曲面方程为交线为此曲线向xoy面的投影柱面方程为此曲线在xoy面上的投影曲线方程为,它与所给平面的目录上页下页返回结束【作业】Ex8-44,5(1) 一众数、中位数、平均数的概念中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数．众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛. 平均数:一组数据的算术平均数,即x=1、平均数:由数据及频率计算平均数,即x=x1f1+x2f2+……xkfk(其中fk是xk的频率。)2、加权平均数:由数据及其权数和样本容量计算平均数,即x=(x1n1+x2n2+……xknk)/n(其中nk是xk的权数,n为样本容量,且n1+n2+……nk=n.)3、已知xn的平均数为x,则kxn+b的平均数为kx+b。平均数:一组数据的算术平均数,即 二、众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系(在只有频率分布直方图的情况下，也可以估计总体特征,而且直方图比较直观便于形象地进行分析。)1、众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的中点的横坐标。当最高矩形的数据组为〔a,b）时,那么(a+b)/2就是众数。 频率组距0.10.20.30.40.5O0.511.522.533.544.5月平均用水量(t)例题分析:月均用水量的众数是2.25t.如图所示：(2+2.5)/2=2.25 2、从频率分布直方图中估计中位数(中位数是样本数据所占频率的等分线。）当最高矩形的数据组为〔a,b）时,设中位数为(a+X)，根据中位数的定义得知，中位数左边立方图的小矩形面积为0.5，列方程得：当最高矩形的数据组之前所有小矩形的面积之和为fm；（频率直方图的面积计算，即组距乘以频率/组距。）x*最高矩形的(频率/组距)+fm=0.5求解X，那么a+X即为中位数。 思考题：如何从频率分布直方图中估计中位数？中位数左边立方图的小矩形面积为0.50~2的小矩形面积之和为：0.5×(0.08+0.16+0.30+0.44)=0.490.200.400.1000.511.522.533.544.50.500.30频率/组距月均用水量/t0.080.160.440.5－0.49＝0.010.01/0.5=0.02如图在直线t＝2.02之前所有小矩形的面积为0.5所以该样本的中位数为2.02 练习.（广东11变式题1）为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为，，分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产的中位数.该产品数量在由此得到频率 3、平均数是频率分布直方图的“重心”.是直方图的平衡点.n个样本数据的平均数由公式:X=假设每组数据分别为〔a1,b1）、〔a2,b2）、……〔ak,bk）时,且每组数据相应的频率分别为f1、f2、……fk;那么样本的平均数(或总体的数学期望)由下列公式计算即可。 由频率分布直方图估计样本平均数(或总体数学期望)公式：X=(a1+b1)/2*f1+(a2+b2)/2*f2+……(ak+bk)/2*fk(其中每组数据的频率还可以由频率直方图的面积计算而得，即组距乘以频率/组距。） 练习.（广东11变式题2）为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为，，分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产的平均数.该产品数量在由此得到频率 总体分布的估计练习：对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：寿命个数100~200200~300300~400400~500500~6002030804030（1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计电子元件寿命在100h~400h以内的概率；（4）估计电子元件寿命在400h以上的概率；（5）估计总体的数学期望. 总体分布的估计100~200200~300300~400400~500500~600寿命合计频率频数累积频率20308040302000.100.150.400.200.1510.100.250.650.851频率/组距 总体分布的估计 思考：从样本数据可知，所求得该样本的众数、中位数和平均数，这与我们从样本频率分布直方图得出的结论有偏差，你能解释一下原因吗？频率分布直方图损失了一些样本数据，得到的是一个估计值，且所得估值与数据分组有关.注:在只有样本频率分布直方图的情况下，我们可以按上述方法估计众数、中位数和平均数，并由此估计总体特征. 三、用频率分布直方图估计总体数字的特征的利弊：总体的各种数值特征都可以由两种途径来估计，直接利用样本数据或由频率分布直方图来估计。两种方法各有利弊；比如：1、通过频率分布直方图的估计精度低；2、通过频率分布直方图的估计结果与数据分组有关；3、在不能得到样本数据，只能得到频率分布直方图的情况下，也可以估计总体特征,而且直方图比较直观便于形象地进行分析。 四、三种数字特征的优缺点：（1）众数体现了样本数据的最大集中点，但它显然对其他数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征。（2）中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值不敏感有时也会成为缺点.（3）由于平均数与每一个样本的数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数都不具有的性质。但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低。 1、在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为_________________；2、已知数据的平均数是3，方差为2，求数据的平均数、方差、标准差？9.5，0.016解：平均数是6，方差是8，标准差是.去掉最高分和最低分合理吗？如果求的平均数、方差、标准差？已知ai的平均数X、方差Y、标准差Z,则b+kai的平均数是b+kx,方差是k的平方与Y的乘积,标准差是k与Z的乘积。(当然Y=Z的平方!)'