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'控制系统状态空间表达式的解 概述(1/4)概述建立了系统的数学描述之后,接着而来的是对系统作定量和定性的分析。定量分析主要包括研究系统对给定输入信号的响应问题,也就是对描述系统的状态方程和输出方程的求解问题。定性分析主要包括研究系统的结构性质,如能控性、能观性、稳定性等。 概述(2/4)本章先讨论用状态空间模型描述的线性系统的定量分析问题,即状态空间模型--状态方程和输出方程的求解问题。根据常微分方程理论求解一个一阶定常线性微分方程组,通常是很容易的。可是求解一个时变的一阶线性微分方程组却非易事。状态转移矩阵的引入,从而使得定常系统和时变系统的求解公式具有一个统一的形式。为此,本章将重点讨论状态转移矩阵的定义、性质和计算方法,并在此基础上导出状态方程的求解公式。 线性定常连续系统状态方程的解(2/3)在讨论一般线性定常连续系统状态方程的解之前,先讨论线性定常齐次状态方程的解,以引入矩阵指数函数和状态转移矩阵等概念。所谓齐次状态方程就是指状态方程中不考虑输入项(u(t)=0)的作用,满足方程解的齐次性。研究齐次状态方程的解就是研究系统本身在无外力作用下的自由(自治)运动。所谓非齐次状态方程就是指状态方程中输入项的作用,状态方程解对输入具有非齐次性。研究非齐次状态方程的解就是研究系统在外力作用下的强迫运动。 线性定常连续系统状态方程的解(3/3)下面,将依次分别讨论:齐次状态方程的解线性定常连续系统的状态转移矩阵线性定常连续系统非齐次状态方程的解 线性定常齐次状态方程的解(1/2)2.1.1线性定常齐次状态方程的解什么是微分方程的齐次方程?齐次方程就是指满足解的齐次性的方程，即若x是方程的解，则对任意非零的实数a,ax亦是该方程的解。所谓齐次状态方程，即为下列不考虑输入的自治方程x’=Ax齐次状态方程满足初始状态的解,也就是由初始时刻t0的初始状态x(t0)所引起的无输入强迫项(无外力)时的自由运动。 线性定常齐次状态方程的解(2/2)对上述齐次状态方程,常用的常微分方程求解方法有级数展开法和拉氏变换法2种。 级数展开法(1/5)1.级数展开法在求解齐次状态方程式之前,首先观察标量常微分方程在初始时刻t0=0的解。该方程中x(t)为标量变量,a为常数。由常微分方程理论知,该方程的解连续可微。因此,该解经泰勒展开可表征为无穷级数,即有式中,qk(k=1,2,...)为待定级数展开系数。 级数展开法(2/5)将所设解代入该微分方程,可得如果所设解是方程的真实解,则对任意t,上式均成立。因此,使t有相同幂次项的各项系数相等,即可求得令x(t)的解表达式中t=0,可确定q0=x(0)因此,x(t)的解表达式可写为 级数展开法(3/5)上述求解标量微分方程的级数展开法,可推广至求解向量状态方程的解。为此,设其解为t的向量幂级数,即x(t)=q0+q1t+q2t2+…+qktk+…式中,qk(k=1,2,...)为待定级数展开系数向量。将所设解代入该向量状态方程x’=Ax,可得q1+2q2t+3q3t2+…+kqktk-1+…=A(q0+q1t+q2t2+…+qktk+…)如果所设解是方程的真实解,则对任意t,上式均成立。因此,使t有相同幂次项的各项系数相等,即可求得 级数展开法(4/5)若初始时刻t0=0,初始状态x(0)=x0,则可确定q0=x(0)=x0因此,状态x(t)的解可写为该方程右边括号里的展开式是n×n维矩阵函数。由于它类似于标量指数函数的无穷级数展开式,所以称为矩阵指数函数,且记为 级数展开法(5/5)利用矩阵指数函数符号,齐次状态方程的解可写为：x(t)=eAtx0 拉氏变换法(1/9)2．拉氏变换法若将对标量函数拉氏变换的定义扩展到向量函数和矩阵函数,定义对向量函数和矩阵函数的拉氏变换为分别对该向量函数和矩阵函数的各个元素求相应的拉氏变换,那么可利用拉氏变换及拉氏反变换的方法求解齐次状态方程的解。对该齐次状态方程x’=Ax,设初始时刻t0=0且初始状态x(0)=x0,对方程两边取拉氏变换,可得sX(s)-x0=AX(s)于是可求得该齐次状态方程的解x(t)的拉氏变换为X(s)=(sI-A)-1x0 拉氏变换法(2/9)对上式取拉氏反变换,即得齐次状态方程的解为x(t)=L-1[(sI-A)-1]x0下面讨论如何求解拉氏反变换L-1[(sI-A)-1]。主要思想为将标量函数的拉氏变换与反变换平行推广至矩阵函数中。对标量函数,我们有 拉氏变换法(3/9)将上述关系式推广到矩阵函数则有其中eAt称为时间t的矩阵指数函数，并有 拉氏变换法(4/9)因此,基于上述(sI-A)-1的拉氏反变换,该齐次方程的解为x(t)=L-1[(sI-A)-1]x0=eAtx0上述拉氏反变换法求解结果与前面的级数展开法求解结果一致。若初始时刻t00,对上述齐次状态方程的解作坐标变换,则可得解的另一种表述形式:状态方程的解表达式说明了齐次状态方程的解实质上是初始状态x(t0)从初始时刻t0到时刻t系统运动状态的转移,其转移特性和时刻t的状态完全由矩阵指数函数和初始状态x(t0)所决定。 拉氏变换法(5/9)为讨论方便,引入能描述系统状态转移特性的线性定常连续系统的状态转移矩阵如下:(t)=eAt因此,有如下关系式x(t)=(t)x0=(t-t0)x(t0)由上述状态转移矩阵定义和齐次状态方程的解,系统状态转移矩阵有如下关系(t)=L-1[(sI-A)-1] 拉氏变换法(6/9)齐次状态方程的解描述了线性定常连续系统的自由运动。由解的表达式可以看出,系统自由运动的轨线是由从初始时刻的初始状态到t时刻的状态的转移刻划的,如图2-1所示。图2-1状态转移特性 拉氏变换法(7/9)当初始状态给定以后,系统的状态转移特性就完全由状态转移矩阵所决定。所以,状态转移矩阵包含了系统自由运动的全部信息。可见,状态转移矩阵的计算是齐次状态方程求解的关键。 拉氏变换法(8/9)—例2-1解(1)首先求出矩阵指数函数eAt,其计算过程为例2-1试求如下状态方程在初始状态x0下的解 拉氏变换法(9/9)—例2-1(3)状态方程的解为(2)计算矩阵指数函数eAt。 线性定常连续系统的状态转移矩阵(1/1)2.1.2线性定常连续系统的状态转移矩阵下面进一步讨论前面引入的状态转移矩阵,主要内容为:基本定义矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质状态转移矩阵的计算 基本定义(1/5)—状态转移矩阵的定义1.基本定义定义2-1对于线性定常连续系统x’=Ax,当初始时刻t0=0时,满足如下矩阵微分方程和初始条件:’(t)=A(t),(t)|t=0=I的解(t)为线性定常连续系统x’=Ax的状态转移矩阵。这里定义的状态转移矩阵与前面定义的是一致的。引入上述状态转移矩阵新定义,主要是为了使状态转移矩阵的概念易于推广到时变系统、离散系统等,使得有可能对各种类型系统的状态方程的解作统一描述，更好地刻划系统状态运动变化的规律。 基本定义(2/5)—几类特殊形式的状态转移矩阵当系统矩阵A为n×n维方阵时,状态转移矩阵Φ(t)亦为n×n维方阵,且其元素为时间t的函数。下面讨论几种特殊形式的系统矩阵A的状态转移矩阵1)对角线矩阵。当A为如下对角线矩阵:A=diag{12…n}则状态转移矩阵为式中，diag{…}表示由括号内元素组成对角线矩阵。 基本定义(2/5)—几类特殊形式的状态转移矩阵证明：（通过矩阵指数函数展开式证明） 基本定义(3/5)—几类特殊形式的状态转移矩阵(2)A变换成对角阵 基本定义(3/5)—几类特殊形式的状态转移矩阵证明：（可以用展开式证明，也可以用下面方法） 基本定义(4/5)—几类特殊形式的状态转移矩阵(3)约旦块矩阵。当Ai为特征值为i的mimi维约旦块,则分块矩阵的矩阵指数函数为 基本定义(5/5)—几类特殊形式的状态转移矩阵(4)证明可以采用拉氏反变换法 矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质(1/5)2.矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质由矩阵指数函数的展开式和状态转移矩阵的定义,可证明矩阵指数函数和状态转移矩阵具有如下性质(Φ(t)为方阵A的状态转移矩阵)1)Φ(0)=eA0=I2)eA(t+)=eAteA，Φ(t+)=Φ(t)Φ() 矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质(2/5)3)[Φ(t)]-1=Φ(-t)这个性质说明，状态转移矩阵的逆意味着时间的逆转。利用这个性质，可以在已知x(t)的情况下，求出小于t时刻的x(t0)，(t0正，邪胜则病，邪盛则病进。正>邪，正胜则不病，正盛则病退。调节正邪之间的力量对比，使得正>邪。 扶正：扶助正气，增强体质，提高机体的抗邪能力。多用补法：药物、针灸、气功、推拿、锻炼、精神调摄、饮食调养等。祛邪：祛除病邪，使邪去正安。 具体运用：扶正：正虚邪不盛的疾病。祛邪：邪实正未衰的疾病。扶正祛邪并用：正虚邪实的疾病。使得扶正不留邪，祛邪不伤正。B 六、因时、因地、因人制宜治疗疾病要根据季节、时令、气候的不同，地理环境的不同，人的体质、性情、性格、及饮食起居的不同等，制定适宜的治疗方法。 因时制宜（感冒）夏季不能过用辛温，以防汗泄太过。冬季重用辛温，使邪从汗解。因地制宜（感冒）南方因气温偏高偏湿，用辛温轻剂。北方因气温偏寒、偏燥，用辛温重剂。因人制宜B 七、同病异治、异病同治同病异治：相同的疾病，在发展过程中，因其病因病机不同，（性质不同），可以采用不同的方法治疗。如：胃脘痛寒邪犯胃---------散寒止痛饮食停滞---------消食导滞肝气犯胃---------疏肝理气脾胃虚寒---------温中散寒瘀血凝滞---------活血理气 异病同治：不同的疾病，在发展过程中，因其病因病机相同，（性质相同），可以用相同的方法治疗。如：子宫下垂------中气下陷------补中益气胃下垂-------中气下陷------补中益气肾下垂------中气下陷------补中益气脱肛----------中气下陷------补中益气肌无力-------中气下陷------补中益气B 治法八法：汗、吐、下、和、温、清、消、补。药 汗法：通过发汗解表的方法，使在表的邪气随汗而解的一种治法。主要适用于外感表证。分类：辛温解表-------风寒表证辛凉解表-------风热表证注意：不可过汗，以汗出邪去为度。 吐法：是通过涌吐的方法，使停留在胃脘以上的痰涎、宿食以及毒物等从口而出的一种治法。 下法：是通过荡涤肠胃、排出粪便的方法，使停留在肠胃的有形积滞随大便而出的一种治法。主要适用于内有积滞的病证。具体运用：寒下------里热实证温下------寒凝润下------肠道枯燥的便秘 和法：是通过和解与调和的方法，使半表半里之邪，或脏腑、阴阳、表里失和之证得以解除的一种治法。 温法：用温里散寒的方法，祛除里寒证的一种治法。具体运用：温中散寒温经散寒温肺化饮温肾利水温胃理气 清法：用寒凉的药物，通过清热、凉血、泻火的方法，以清除里热之邪的一种治法。适应症：里热实证。具体运用：清热泻火清热泻肺清肝泻火清热解毒清心泻火清热凉血清胃泻火 消法：是通过消食导滞、行气、活血、化痰、利水、驱虫等方法，使食、气、血、痰、水、虫等所形成的有形之邪得以消散的一种治法。具体运用：消食导滞利水消肿消痞化积软坚散结行气化瘀活血化瘀B 补法：是用补养的药物，通过补益的方法，治疗虚证的一种治法。具体运用：补气、补血、补阴、补阳。补养心血、补益心气、养血柔肝、滋阴润肺、补气健脾、 复习思考题（一）治则与治法的关系？“治未病”体现在哪两个方面？什么叫治病求本？什么叫正治法？什么叫“寒者热之”？什么叫“同病异治”？什么叫“异病同治”？运用“扶正祛邪”的治则时，应注意的原则是什么？中医治疗疾病的八大基本治法是什么？八法中，------法治疗表证，------法治疗里寒证，-------法治疗各种虚证，-------法治疗里热证。治则中“因时、因地、因人制宜”的意义。 中药与方剂理、法、方、药 植物药动物药矿物药《神农本草经》《本草纲目》“道地药材”炮制 药物的性能（药性）四气五味升降沉浮归经方剂方剂 药物的性能四气：四种不同的药性。寒凉：治疗热证。温热：治疗寒证。B 药物的性能五味：酸、苦、甘、辛、咸。酸：收、涩。苦：泄。甘：补。辛：散、行。咸：软、下。B 药物的性能升降沉浮是指药物在人体内作用的不同趋向。升浮药有上行、向外的功能。沉降药有下行、向内的功能。B 药物的性能归经是指药物对机体的某一部分有选择性的作用。引经药B 方剂的组成君---治主病、主证。臣---辅助君药治主病、主证。----治兼病、兼证。佐----协助君臣。-----消除君臣的毒性、烈性。使----调和。----引经药。 方剂的应用剂型：汤、丸、散、膏、酒、糖浆、片、胶囊、冲剂、针剂等煎法：服法： 辨证论治什么叫辨证论治诊断疾病和治疗疾病的基本原则诊断疾病和治疗疾病方法是中医学的精华是中医学的基本特点 如何辨证？四诊收集资料（症状、体征、过程）理论分析辨出疾病的原因性质部位邪正判断为某种性质的证 论治根据辨证的结果确定治则与治法具体的治疗方法 复习辨证论治的具体内容：基本方法-----四诊辨证纲领-----八纲辨证辨证基础-----脏腑辨证治疗原则-----治疗大法-----八法治疗手段-----具体方法 八纲辨证：根据四诊收集的资料，进行分析综合，以概括病变的大体类别、部位、性质、以及邪正盛衰等方面的情况，从而归纳为阴证、阳证、表证、里证、寒证、热证、虚证、实证八类基本证候。类别：阴、阳。部位：表、里。性质：寒、热。邪正盛衰：虚、实。 一、表证表证：是六淫外邪从皮毛、口鼻侵入肌体所致病位浅在肌肤的证候。特点：急、短、浅。表现：发热恶寒（恶风）、舌苔薄白、脉浮。常兼有头痛身痛、鼻塞、咳嗽等。风寒表证风热表证 二、里证里证：表示病变部位在脏腑所致的证候。形成：1、表证不解，内传入里，侵犯脏腑；2、病邪直接侵犯脏腑；3、脏腑功能失调。表现：多样，以脏腑的证候为主。特点：病程长、不恶风寒、脉不浮、舌苔有变化。 三、寒证寒证：是感受寒邪，或阳虚阴盛，肌体机能活动衰退所表现的证候。表现：恶寒喜暖、口淡不渴、面色苍白、肢冷蜷卧、小便清长，大便溏薄舌淡苔白，脉迟。 四、热证热证：是感受热邪，或阳盛阴虚，肌体机能活动亢进所表现的证候。表现：发热喜凉，口渴喜冷饮，面红目赤，烦躁不宁，痰涕黄绸，小便短赤，大便秘结，舌红苔黄，脉数。 五、虚证虚证：是人体正气不足，脏腑功能衰退所表现的证候。气虚证：面色苍白，少气懒言，语音低微，神疲乏力，自汗，动则诸证加剧。舌淡，脉虚。阳虚证：面色晄白，形寒肢冷，神疲乏力，自汗，口淡不渴、小便清长，大便溏薄，舌淡苔白，脉虚。 五、虚证血虚证：面色苍白或萎黄，唇色淡白，头晕眼花，心悸失眠，手足麻木，经少、延期或闭经，舌淡，脉细。阴虚证：午后潮热，盗汗，颧红，咽干口燥，手足心热，小便短黄，舌红少苔，脉细数。 六、实证实证：邪气过盛、脏腑功能亢进所表现的证候。表现：七、阴阳是总纲。阴：里、寒、虚。阳：表、热、实。 脏腑辨证定义：是根据脏腑的生理功能、病理表现，对疾病证候进行分析归纳，皆以推究病机，判断病位、病性、正邪盛衰状况的一种辨证方法。包括脏病辨证、腑病辨证，脏腑兼病辨证。 一、心与小肠病辨证1、心气虚临床表现：心的症状+气虚症状。心悸，气短，动则加剧，自汗，面色苍白，少气懒言，语音低微，神疲乏力，动则诸证加剧。舌淡，脉虚细或结带。2、心阳虚临床表现：心气虚+阳虚症状心悸，气短，动则加剧，自汗，面色苍白，舌紫暗，脉虚细或结带。形寒肢冷。 一、心与小肠病辨证3、心血虚临床表现：心的症状+血虚症状心悸失眠，健忘多梦，面色萎黄，头晕，唇舌色淡，脉细。4、心阴虚临床表现：心的症状+阴虚症状心悸失眠，健忘多梦，潮热，盗汗，颧红，手足心热，小便短黄，舌红少津，脉细数。 一、心与小肠病辨证5、心火炽盛临床表现：心的症状+火热症状失眠，心胸烦热，甚至狂躁，面赤，口渴，或口舌生疮，舌体糜烂，大便干结，苔黄，脉数。6、心血瘀阻临床表现：心的症状+瘀血症状心悸，胸闷，或胸刺痛，痛引肩背内手臂，舌紫，或有瘀点、瘀斑，脉细涩或结带。 一、心与小肠病辨证7、小肠实热临床表现：小肠的常见症状+火热症状小便短赤，尿道灼痛，口舌生疮，口渴，尿血，苔黄，脉数。 肺与大肠病辨证1、肺气虚临床表现：肺的症状+气虚症状咳喘无力，动则气短，痰清稀，面色苍白，乏力，自汗，畏风，舌淡，脉虚弱。 肺与大肠病辨证2、肺阴虚临床表现：肺的燥咳症状+阴虚症状干咳无痰，或痰少粘，或痰中带血，口干咽燥，形体消瘦，潮红，盗汗，舌红少苔，脉细数。 肺与大肠病辨证3、风寒犯肺临床表现：咳嗽，痰清稀，鼻塞流清涕，或恶寒发热，头痛身痛，苔薄白，脉浮。4、风热犯肺临床表现：咳嗽，痰黄粘绸，咽喉疼痛，口干，头痛，恶风发热，苔薄黄，脉浮。 肺与大肠病辨证5、燥邪犯肺临床表现：咳嗽+干燥症状干咳无痰，或痰少而粘，唇、舌、鼻、咽喉干燥，或身热恶寒，苔薄白（黄），脉浮。 肺与大肠病辨证6、痰热壅肺临床表现：咳嗽+热症状咳嗽气喘，呼吸急促，痰黄粘绸，甚至咳吐脓血，发热、口干，小便黄，大便干，舌红苔黄，脉数。 肺与大肠病辨证7、痰湿阻肺临床表现：咳嗽+痰湿症状咳嗽痰白粘易咯，苔白腻，脉滑。8、大肠湿热临床表现：泻泄秽浊，里急后重，肛门灼热，尿黄，口渴，苔黄腻，脉滑数。 脾与胃病辨证1、脾气虚临床表现：运化失常症状+气虚症状食少纳呆，口淡无味，腹胀，便溏，消瘦，面色苍白，神疲乏力，舌淡，脉虚弱。 脾与胃病辨证2、脾阳虚临床表现：运化失常症状+气虚症状+寒症状食少纳呆，腹胀腹冷痛，喜温喜按，便溏，形寒肢冷，或白带清稀量多，或肢体浮肿，舌淡胖，脉虚弱。 脾与胃病辨证3、中气下陷临床表现：下坠的症状+脾气虚症状脘腹有坠胀感，食后更甚；便意频频，肛门有坠重感；久痢不止，甚至脱肛；内脏下垂，食少纳呆，面色苍白，神疲乏力，舌淡，脉虚弱。 脾与胃病辨证4、脾不统血临床表现：出血的症状+脾气虚症状便血，尿血，鼻衄，肌衄，月经多，崩漏，+食少纳呆，面色苍白，神疲乏力，舌淡，脉虚弱。 脾与胃病辨证5、寒湿困脾临床表现：运化失常+寒湿食少纳呆，腹胀闷，便溏，+口粘不爽，头身困重或浮肿+苔白腻，脉缓。 脾与胃病辨证6、脾胃湿热临床表现：运化失常+湿热食少纳呆，腹胀闷，便溏，+口粘而甜，头身困重或浮肿+苔黄腻，脉滑数。 脾与胃病辨证7、胃阴虚临床表现：胃的局部症状+阴虚症状胃痛隐隐，口燥咽干，大便干结，舌红少苔，脉细数。 脾与胃病辨证8、胃火炽盛临床表现：胃的局部症状+热症胃腕灼热疼痛，吞酸嘈杂，口渴喜冷饮，消谷善饥，牙龈肿痛，口臭，便秘，尿黄，舌红苔黄，脉滑数。 脾与胃病辨证9、食滞胃脘临床表现：消化不良 肝胆病辨证1、肝气郁结临床表现：情志抑郁或发怒，善太息，胸胁或少腹部胀痛，脉弦。 肝胆病辨证2、肝火上炎临床表现：情绪火亢+热急躁易怒，头痛，头胀，眩晕，口苦咽干，便秘尿黄。3、肝阳上亢临床表现：阳亢+可兼有肝火上炎头痛，头胀，眩晕，面烘热，脉弦。 肝胆病辨证4、肝血虚临床表现：目糊，目涩，夜盲，+肢体麻木，筋脉拘挛+血虚5、肝阴虚临床表现：目糊，目涩，+阴虚 肝胆病辨证6、肝风内动临床表现：眩晕，摇晃，抖动，抽搐，项强，肢体麻木肝阳化风：+肝阳上亢热极生风：+热血虚生风：+血虚 肝胆病辨证7、肝胆湿热临床表现：肝开窍部位肝经部位（耳、胸胁、少腹、会阴）+湿热（苔黄腻）+脉弦数。 肾与膀胱病辨证1、肾阳虚临床表现：腰膝酸软+寒+不孕、不育2、肾虚不固临床表现：遗尿、遗精、尿失禁、夜尿频，带下清稀，滑胎。+腰膝酸软3、肾（阳）虚水泛临床表现：全身肿+腰膝酸软+寒 肾与膀胱病辨证4、肾不纳气临床表现：呼多吸少+腰膝酸软5、肾精不足临床表现：生长迟、生殖功能低下、早衰 肾与膀胱病辨证6、肾阴虚临床表现：腰膝酸软，头晕，耳聋耳鸣，+阴虚7、膀胱湿热临床表现：尿路刺激，尿血，尿石+苔黄腻，脉数。 辨证论治的特性强调中医治疗的重点是“证”的区别，不是“病”的异同。异病同治-------异病证同治同同病异治-------同病证异治异强调中医辨证“从证入手”。个体有特异性。强调“证”是恒动变化的。证变则治也变治变则药也变 病、证、症的区别：病----病名，一组临床表现的名称。证----证候，是疾病的本质反映，诊断性结论。反映病变的部位、性质、类别，揭示了发病机制与发病趋势，提示了治疗的方向。症----症状，是疾病的外在表现。 复习思考题什么是中药的四气？什么叫辨证论治？中医治病强调“证”还是“病”？中医的“病”是指什么？中医的“证”是指什么？什么要同病异治？在八纲辨证中，-----反映疾病的类别，-----反映疾病的性质，-----反映疾病的部位，-----反映正邪的盛衰。 。8.心悸、乏力、动则更甚，面色白，舌淡，脉弱。用脏腑辨证属——————。9.干咳少痰，咽干口燥，盗汗，颧红，手心发热。苔少舌质红，脉细数。用脏腑辨证属———。10.纳少，腹胀，神疲乏力，面色白，四肢倦怠，苔薄白，脉细。用脏腑辨证属———。11.胃中烧灼感，牙龈肿痛，口干，便秘，舌质红苔黄，脉数。用脏腑辨证属———。12.尿频、尿急、尿痛、腰酸、发热、口渴，苔黄，脉数。用脏腑辨证属———。'