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'第七章—矩阵的特征值问题 设k/m=1，求固有频率的特征方程 7.1引言物理、力学和工程技术中很多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值问题。例如，振动问题(大型桥梁或建筑物的振动、机械的振动、电磁震荡等)，结构屈曲，物理学中的某些临界值的确定。它们都归结为下述数学问题。 7.2幂法及反幂法一、幂法幂法是一种求实矩阵A的按模最大的特征值λ1及其对应的特征向量x1的方法。特别适合于大型稀疏矩阵。 于是主特征值为：2.5365323；对应特征向量为：(0.74820.64971)T 二、加速方法 三、反幂法反幂法可求非奇异实矩阵的按模最小特征值及特征向量。也可用来计算对应于一个给定近似特征值的特征向量。 %%求对称正定矩阵的特征值问题%%A=[3-20;-25-3;0-37];%%对称正定矩阵Epsilon=0.0001;%%迭代控制误差%%求最大特征值及对应的特征向量v=[1;1;1];%%初始迭代向量Lambda_0=max(abs(v));%%最大特征值的估计值while1v=A*v;Lambda_1=max(abs(v));v=v/Lambda_1;ifabs(Lambda_1-Lambda_0)<=Epsilondisplay("最大特征值")display(Lambda_1);display("最大特征值对应的特征向量")display(v");breakendLambda_0=Lambda_1;end %%求最小特征值及对应的特征向量A=inv(A);%%求矩阵A的逆——好的做法是利用平方根法求逆v=[1;1;1];%%初始迭代向量Lambda_0=max(abs(v));%%最大特征值的估计值while1v=A*v;Lambda_1=max(abs(v));v=v/Lambda_1;ifabs(Lambda_1-Lambda_0)<=Epsilondisplay("最小特征值")Lambda_1=1/Lambda_1;%%注意倒数display(Lambda_1);display("最小特征值对应的特征向量")display(v");breakendLambda_0=Lambda_1;end 矩阵特征值与特征向量的计算重要概念（特征值，特征向量，正交相似变换，反射变换，平面旋转变换，QR分解）迭代法幂法（原理、计算公式、加速技巧）反幂法（原理、计算方法、加速技巧）雅可比方法（原理、方法、收敛性）变换法QR方法基本QR方法原点平移QR方法双步原点平移QR方法 八纲辨证病案实例分析中医诊断学教研室鲁法庭 八纲辩证八纲辨证的源流与概念八纲基本证候寒热辨证八纲证候间的关系虚实辨证阴阳辨证表里辨证八纲辨证意义证候相兼证候错杂证候真假证候转化寒热真假虚实辨证真热假寒真寒假热真实假虚真虚假实表里出入寒热转化虚实转化 韩XX，男，42岁．三年来反复咳嗽，痰中带血，曾诊断为“肺结核”。来诊时症见形体消瘦，两颧红赤，咳嗽少痰，胸痛，痰中带血，口燥咽干，盗汗，舌红少苔，脉细数。病案1病案2徐XX，女，39岁．两天前因气候突变，出现恶风寒，发热，无汗身痛，咳痰清稀等症。昨日起体温上升至39．50C，咳嗽加重而来就诊．现症见高热，咳喘，胸闷，痰多色黄而粘，口渴思饮，烦躁不安，小便短黄，大便干燥，舌红苔黄腻，脉滑数。 病案3林X，女，30岁．因工作繁忙，近半年来出现白带绵绵不断，曾服清热除湿方药十余剂，未效。现症见面色萎黄，神倦乏力，少气懒言，纳少便溏，腹胀，带下量多色白质稀，无臭味，舌淡苔白，脉缓弱病案4沈XX，男，31岁．三年前始见眼睑、面部浮肿，因未及时治疗，病情迁延，逐渐出现下肢反复水肿．近二月来，常感心悸、心跳而来就诊。症见面色苍白，形寒肢冷，精神萎靡，心悸，腹部胀满，下肢浮肿，按之凹陷，腰膝酸冷，小便短少，舌淡胖，苔白滑，脉沉迟无力． 病案5李X，男，27岁．二年前因感受外邪，始见眼睑、面部浮肿，继则全身皆肿，曾住院二次，水肿仍反复发作。半月前因劳累过度，病势大发。现下肢浮肿明显，按之凹陷，面色苍白，四肢不温，畏寒神疲，腰膝酸冷．食少腹胀，小便不利，大便溏薄，舌淡胖苔白滑，脉沉迟无力．要求写出：①八纲结论②辨证分析． 病案分析结果讨论病案1病案2病案3病案4病案5 韩XX，男，42岁．三年来反复咳嗽，痰中带血，曾诊断为“肺结核”。来诊时症见形体消瘦，两颧红赤，咳嗽少痰，胸痛，痰中带血，口燥咽干，盗汗，舌红少苔，脉细数。要求写出：①辨证分析②八纲结论病案1辨证分析：本证因痨虫蚀肺，耗伤肺阴所致．肺阴不足，虚热内生，肺失清肃，气逆于上，故咳嗽少痰；虚火灼伤肺络，络伤血溢，则痰中带血．阴虚内热，虚火上火，故两颧红赤；热扰营阴则盗汗，阴液不足，失于滋养，则口燥咽干，形体消瘦．舌红少苔，脉细数，为阴虚内热之征． 八纲结论：里证，虚证，热证 病案2徐XX，女，39岁．两天前因气候突变，出现恶风寒，发热，无汗身痛，咳痰清稀等症。昨日起体温上升至39．50C，咳嗽加重而来就诊．现症见高热，咳喘，胸闷，痰多色黄而粘，口渴思饮，烦躁不安，小便短黄，大便干燥，舌红苔黄腻，脉滑数。要求写出：①辨证分析②八纲结论辨证分析；本证病初为表寒证，后因风寒之邪化热入里而成里实热证。热邪炼液为痰，痰热壅阻于肺，肺失清肃，肺气上逆，故咳喘胸闷，痰多黄粘。里热炽盛，蒸达于外，故壮热；热扰心神则烦躁不安；热盛伤津则口渴．肠道失润则便秘，小便化源不足则小便短黄．舌红苔黄腻，脉滑数，为痰热内盛之征 八纲结论：里证，实证热证，阳证 病案3林X，女，30岁．因工作繁忙，近半年来出现白带绵绵不断，曾服清热除湿方药十余剂，未效。现症见面色萎黄，神倦乏力，少气懒言，纳少便溏，腹胀，带下量多色白质稀，无臭味，舌淡苔白，脉缓弱。要求写出：①辨证分析②八纲结论辨证分析：本证因劳累过度，耗伤脾气而致脾气虚。脾气虚弱，健运失职，输精、散精无力．水湿不运，故见腹胀纳少；水湿不化，清浊不分，流注肠中，则便溏，水湿下渗，常脉失约，则带下量多色白质稀，脾为气血生化之源，脾虚化源不足，肌体失养，面都失荣，故见神倦乏力，面色萎黄；中气不足则少气懒言，舌淡苔白，脉缓弱，均为脾气虚弱之征。 八纲结论：里证，虚证，阴证． 病案4沈XX，男，31岁．三年前始见眼睑、面部浮肿，因未及时治疗，病情迁延，逐渐出现下肢反复水肿．近二月来，常感心悸、心跳而来就诊。症见面色苍白，形寒肢冷，精神萎靡，心悸，腹部胀满，下肢浮肿，按之凹陷，腰膝酸冷，小便短少，舌淡胖，苔白滑，脉沉迟无力辨证分析：本证因久病失调，肾阳亏耗所致。腰为肾府，肾阳不足，温煦失职，故形寒肢冷，腰膝酸冷；阳虚气血温运无力，不能鼓舞阳气，故面色苍白，精神萎靡；肾主水，肾阳不足，气化失权，水湿内停，泛溢肌肤，故下肢浮肿；水湿泛溢，阻滞气机，则腹部胀满；水气凌心，抑遏心阳，则心悸，膀胱气化失司，故小便短少；舌淡胖，苔白滑，脉沉迟无力，均为肾阳亏虚，水湿内停之征。 八纲结论：里证，寒证虚实夹杂证，阴证 病案5李X，男，27岁．二年前因感受外邪，始见眼睑、面部浮肿，继则全身皆肿，曾住院二次，水肿仍反复发作。半月前因劳累过度，病势大发。现下肢浮肿明显，按之凹陷，面色苍白，四肢不温，畏寒神疲，腰膝酸冷．食少腹胀，小便不利，大便溏薄，舌淡胖苔白滑，脉沉迟无力．辨证分析：脾肾阳气虚衰，无以温化水液，水湿内停，泛溢肌肤，则下肢浮肿．膀胱气化失职，故小便不利；腰为肾府，肾阳虚，腰膝失于温养，故腰膝酸冷；阳虚形体失于温，则四肢不温，畏寒神疲；脾阳虚，健运失职，则食少、腹胀；湿渗大肠则便溏；面色苍白，舌淡胖苔白滑，脉沉迟无力，均为阳虚阴盛，水寒之气内盛之征。 八纲结论：里证，寒证虚实夹杂证，阴证'