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'第五章-极限分析法 5.1基本假定理想弹塑性体和刚塑性体在荷载作用下，当荷载达到某一数值并保持不变的情况下，物体会发生“无限”的变形——进入塑性流动状态，由于只限于讨论小变形的情况，通常所称的极限状态可以理解为是开始产生塑性流动时的塑性状态，而极限荷载也可以理解为达到极限状态时所对应的荷载。研究表明，如果绕过弹塑性的变形过程，直接求解极限状态下的极限荷载及其速度分布，往往会使问题的求解容易得多，这种分析常称为极限分析。在极限分析中对材料作刚塑性假设和理想弹塑性假设得到的极限状态是一致的，相应的极限荷载也是相同的。 极限分析法是应用理想弹塑性体(或刚塑性体)处于极限状态的普遍定理——上限定理和下限定理求解极限荷载的一种分析方法。与第六章相似，把服从Mohr-Coulomb屈服条件的材料称为Coulomb材料，服从Tresca屈服条件的材料称为Tresca材料。在塑性流动状态，屈服应力与塑性应变之间没有直接的关系，屈服应力与相应的塑性应变率之间的关系可由流动规则确定。在这里限于介绍服从相关联流动规则的情况。塑性应变率分量之间的关系可表示为：屈服函数 在此物体上，设定一组应力场σij*，若满足以下条件，则称σij*为静力容许的应力场。(1)在体积V内到处满足平衡方程式中，Fi为给定的体力。(2)在边界ST上，满足边界条件式中，Ti*为与应力σij*对应的表面力；nj为边界上外法线的方向余弦；为边界上给定的表面力。(3)在体积V内不违反屈服条件，若已知屈服条件(方程)为f(σij)，则有由以上定义可知，物体处于极限状态时，其真实的应力场必定是静力容许的应力场。然而静力容许的应力场并不一定是极限状态时的真实应力场。 在物体上，设定一组速度场vi*，若满足以下条件，则称为机动容许的速度场。(1)在边界SU上满足边界条件式中，为边界SU上给定的体力。(2)在体积V内满足几何方程由以上定义可知，在极限状态时的真实速度场必定是机动容许的速度场，而机动容许的速度场并不一定是极限状态时的真实速度场。应变速率 虚功原理表明：对于一个连续的变形体，静力容许的应力场在机动容许的位移场上所作的外(虚)功。虚功率方程可表示为：5.2.2虚功率方程静力容许机动容许左端表示外力(面力和体力)的虚功率，右端表示虚变形功率。 现证明如下：将应力边界条件代入虚功率方程左端的面积分部分，并利用高斯积分公式，可得根据平衡微分方程及关系式，则方程的左端：于是，虚功率方程就得到证明。高斯公式：关系式： 5.2.3存在应力间断面和速度间断面的虚功率方程(1)存在应力间断面的虚功率方程应力间断线实际上是一薄层过渡区，在这薄层过渡区内，应力发生急剧的变化，造成间断线两侧应力发生间断现象。沿着间断线必须满足平衡方程以及屈服条件，而且两个区内沿间断线法线方向的应力应该相等，两个区内的剪应力相等，即：只有两个区内的沿间断线切线方向的正应力才可能出现间断 ΩθψαβIIIllllσn2σn1τn1τn2σt2σt1III 设物体中存在若干个应力间断面SK(K=1,2,3,…)，将物体分成有限个部分。在每一部分，应力是连续变化的(应力间断面不可能同时成为速度间断面)。设在间断面SK的一边作用有表面力Tni+，而另一边作用着Tni-。根据任一间断面上元素的平衡条件得到：对由间断面分成的每一部分应用虚功率方程，相应的面积分别按每一部分的表面面积完成。把各部分的虚功率方程加在一起，可以发现沿着应力间断面的全部积分相互抵消。因此，应力间断面的存在，并不影响虚功率方程的形式。 (1)存在速度间断面的虚功率方程速度间断线可以认为是两个速度区之间存在的过渡薄层的极限情况。Tresca材料的速度间断面SThVl∆vCoulomb材料的速度间断面SThVl∆vφhεnTresca材料的速度改变方向与间断线方向一致，即速度间断线两侧的法向速度连续，只有切向速度有跳跃性改变。Coulomb材料的间断线两侧不仅切向速度不连续，法向速度也不连续。虽然两侧法向速度不连续，但物体仍保持连续，不产生裂缝。 考虑存在速度间断面对虚功率方程的影响，需要计算在速度间断面上的塑性能消散。Tresca材料单位体积塑性变形能消散率D可用应力和相应的应变率的乘积得出，取速度间断面可以认为是一个薄层变形区，位移速度在层内急剧而连续的变化，两侧相对速度为Δv，于是长度为l，厚度为h的间断面内的能量消散率为进一步可以得到Tresca材料沿速度间断面Si的能量消散率 Coulomb材料单位体积塑性变形能消散率D可表示为：就是间断面相对速度在切线方向的分量，可记为当φ=0，上式就蜕化成于是长度为l，厚度为h的间断面内的能量消散率为于是可以得到Coulomb材料沿速度间断面Sl的能量消散率 当速度间断面上的应力为屈服应力时：计算所有速度间断面上的能量消散率，结合虚功率方程，可以得到存在速度间断面的虚功率方程：Tresca材料：Coulomb材料： 5.2.4上限定理和下限定理(1)下限定理当物体产生塑性变形达到极限状态时，在给定速度的边界SU上，真实的表面力在给定的速度上所作的功率恒大于或等于其他任意静力容许的应力场所对应的表面力在同一给定速度上所作的功率。在所有与静力容许的应力场相对应的荷载中，极限荷载为最大。根据下限定理可以计算极限荷载的下限，通常称为极限荷载的下限解。 对于Coulomb材料，设σij为物体达到极限状态时的真实应力场，其对应的表面力为Ti，vi为真实速度场，依据这一速度场由几何方程求得的真实应变速率为ξij，真实速度场可能有速度间断面SD，其上速度跃度为[Δvt]；在SU上给定的速度为，在ST上给定的表面力为，给定的体力为Fi。下限定理的证明：由于真实应力场一定是静力容许的应力场，所以极限状态时的虚功率公式 又设有另一静力容许的应力场σij*，对应的表面力为Ti*，在真实速度间断面上与速度跃度相对应的剪应力和法向应力分别为τ和σn，那么σij*,Ti*,τ和σn在同一速度场上的虚功率方程将上式和右式相减并注意到S=ST+SU，在ST上有，得 对于刚性区内的微元体，ξij=0，故对于对塑性区内的点，真实应力σij的矢量末端处于屈服曲面上，而的末端则可能在屈服曲面上，也可能在屈服曲面内(见右图)，则根据Drucker公设得到屈服曲面o于是：上面推导对Tresca材料同样成立。于是得出，物体处于塑性状态时，极限荷载的功率大于或等于静力容许的应力场所对应的荷载的功率，这也就证明了在所有的静力场所对应的荷载中，极限荷载为最大，或者说，任何静力容许的应力场所对应的荷载是极限荷载的下限。于是，下限定理得到证明。 (2)上限定理当物体产生塑性变形达到极限状态时，在所有机动容许的速度场中，真实速度场所对应的总功率最小。在所有的机动容许的塑性变形位移速率场相对应的荷载中，极限荷载为最小。根据上限定理可以计算极限荷载上限，通常称为极限荷载的上限解。根据下限、上限定理计算极限荷载下限、上限的方法，分别称为静力法和机动法。一般情况，可应用上下限定理求出极限荷载的上下限。如果采用静力法得到的下限解等于采用机动法得到的上限解，则得到了极限荷载的精确解。 上限定理的证明上限定理表明：由下式确定的与某一机动容许的塑性变形位移场和对应的荷载Ti，Fi将大于或等于真实的极限荷载。反证法：假设由上式确定的荷载Ti，Fi小于极限荷载，则可找到与之平衡的静力场σijE，于是可得到虚功率方程两式相减，得： σijE是静力场，因此F(σijE)<0，且有：由相关联流动规则，得：这是矛盾的，于是上限定理得到证明。7.2.5上、下限定理的推论推论1：如果几何形状不改变，初始应力和初始变形不会改变极限荷载的大小。推论2：提高物体某些部分材料的屈服极限，不会降低其极限荷载。反之，降低物体某些部分材料的屈服极限，不会提高其极限荷载。 推论3：在物体上增加一部分材料(如增加部分重量可忽略不计)而不改变荷载的作用位置，不会降低其极限荷载。推论4：由外接真实屈服面的屈服面计算等到的极限荷载将不小于真实的极限荷载；由内切真实屈服面的屈服面计算得到的极限荷载将不大于真实的极限荷载。这些推论提供了极限分析中寻找极限荷载上下限的又一途径。如果用实际的屈服条件求解问题有困难，则可以对屈服条件进行简化，使简体后的屈服面内切或外接于真实屈服面。由简化屈服面找出真实极限荷载的上限和下限。推论5：任何一组使服从相关联流动规则的材料产生破坏的荷载将使服从不相关联流动规则的同样屈服面的材料产生破坏。 5.3应用上限定理极限分析法应用上限定理可以计算极限荷载的上限。在分析中通常需要建立一机动场，然后根据虚功率原理求出相应的破坏荷载，即得到极限荷载的一个上限解。应用上限定理极限分析法通常称为机动法。求一般地基上条形基础极限承载力Pb hl刚体刚体刚体刚体平移Tresca材料薄变形层上的刚体滑动转动薄变形层上的刚体滑动可以分为二种，平移和转动，速度v的方向同滑动面切线方向一致。平移情况，滑动面为一平面，转动时为圆弧面。5.3.1薄变形层上的刚体滑动 hl刚体刚体平移Coulomb材料薄变形层上的刚体滑动转动薄变形层上的刚体滑动也可以分为二种，平移和转动，速度v的方向同滑动面切线方向成夹角。vO刚体刚体vv OvvR0RiRi+1R对转动，唯一容许的滑动面形状是对数螺族曲面。对数螺曲线从O点的半径矢量总是与曲线的切线形成一个不变角度将θ进行n等分，dθ=θ/n AOβH例：求竖起陡坡的临界高度γ取机动场如图，土的容重为γ，滑动面与竖直方向成β角。淌动体的运动速度为v，与滑动面成　角。沿着滑动面的内能消散率为：v塑性流动时，外力做功率为：于是： 要求H的值，即求的极值。取： 为了计算变形楔体的能量消散率，把楔体ODG分成n个刚体三角形，如下图所示。5.3.2楔体压缩与刚体滑动相结合DGECABv1v2Bv2v1δuδvOR0R1R2 Bv2v1δuδv即为图中的δu类似地AB边上的能量消散率为：DECABv1v2OGR0R1R2沿OB和AB的能量消散率是相等的，当n趋向于无穷大时，变形楔体ODG变形的区的能量同速度间断面对数螺旋面DG上的能量消散率是相同的。 DECABv1v2OGR0R1R2沿数螺旋面DG上的能量消散率为 xyqfADCBC"D"A"bPADCBA"D"C"vμv0v1v2 bPADCBA"vμv0v1v2v1v1π/2-μv0ABA"和ACD是刚性块体，ABC是变形楔体，ABA"区作刚体移动，其速度与基础速度相同。变形楔体ABC的AB边上的速度为v1变形楔体ABC的AC边上的速度为v2 bPADCBA"vμv0v1v2内能消散率包括速度间断上能量消散率和变形区能量消散率。速度间断线A"B上的能量消散率： bPADCBA"vμv0v1v2速度间断线CD上的能量消散率： bPADCBA"vμv0v1v2变形楔体ABC和速度间断面BC上的能量消散率为： 外力做功为 (2)楔体与V形缺口之间因摩擦作用其剪应力为k如图可得：BG边：OB边：根据BDE区β线方程。于是：2aO2δACBGFxδaδδaβααβ 必答题42 1、多萝西的小狗叫什么名字？（托托）43 2、（）把多萝西和她的小狗吹到了芒奇金人的国家。龙卷风44 3、多萝西的房子从空中落下来，压死了（东方恶女巫），多萝西得到了一双（银鞋45 4、在去翡翠城的路上，多萝西认识了稻草人、铁皮人、狮子。46 5、稻草人想得到一个（脑子），他最害怕（一根燃烧的火柴）。47 6、铁皮人想得到一颗（）。心48 7、狮子想得到（）。铁皮人为了（踩死了甲虫）而流泪，使牙床生锈了胆量49 8、多萝西和托托还有（狮子）被田地里的花香熏倒了，这是一块（）花地罂粟50 9、铁皮人和稻草人抬出了多萝西和托托，（）救出了大狮子田鼠51 10、芒奇金人喜欢（）色，翡翠城的居民喜欢（）色，魁特林人喜欢（）色蓝绿红52 11、“遥知不是雪，为有暗香来”描写的是（）梅花53 12、世界上最小的鸟是（蜂鸟）54 13、人体的热量源是（）。糖55 14、《山行》是描写（）天的景色。秋天56 15.《山行》里提到的“霜叶”是指（）枫叶57 16.谁知盘中餐，（）粒粒皆辛苦58 17、“欲穷千里目，更上一层楼”，诗人当时登上的楼是（）鹳雀楼59 18、万花之王指的是（）牡丹60 19、形容人很多，非常热闹的成语是（）门庭若市61 20、我国四大名著之一的《西游记》共有（）回。10062 21、“危楼高百尺”里面的“危楼”是（）高楼63 22、西方女巫只好用金冠召唤了（），捉住了多萝西他们。飞猴64 23、《马小跳》中的四大天王眼里（）是个需要保护的人。安琪儿65 24、描写放牛的孩子想捉树上的知了的古诗是（）《所见》66 抢答题67 1.多萝西怎么回家的呢？用银鞋子（鞋跟碰三次）回家。68 2.飞猴  带多萝西他们回到了翡翠城，他们发现奥兹不是魔法师，而是一个  （） 。小老头69 3.西方女巫为了得到多萝西的银鞋，悄悄地在屋里放了根（），想绊倒多萝西。没想到多萝西很气愤，把水泼向了西方女巫，西方女巫的身体溶化了。铁条（铁丝），70 4.狮子看见的奥兹是（）。火球71 5.铁皮人看见的奥兹是（）可怕的怪兽72 6.多萝西看见的奥兹是个（）巨大的脑袋73 7.稻草人看见的奥兹是（）可爱的女人74 8.在过河的时候，水流很急，稻草人被留在了河中央，（）救了他。鹳鸟75 9.董卓的儿子叫吕布。错76 10.关羽使用的兵器是双股剑。（　　）错77 刘关张三英战吕布》刘备、关羽、张飞战胜吕布。（　）对78 12.《刘关张桃园结义》中的”刘关张”是一个人的名字。（　　）错79 13.出去游玩，出了一身汗，这时最好的是喝淡盐水。（）对80 14.今年4.14日在我国玉树发生了7.1级地震。对81 15、2010年将在广州举行亚运会。对82 抢答题83'