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'总复习材料力学 21.1材料力学的任务在满足强度、刚度及稳定性的条件下，为设计安全、经济的构件提供理论基础（计算方法） 31.2变形固体的基本假设力学模型1、连续性2、均匀性3、各向同性 71.4内力、截面法和应力（基本概念）F1F2F3F4F5F6IIImmF4F5F6Imm内力（分布力系）（2）截面法： 81.4内力、截面法和应力（3）截面上的内力：截面上的分布力系向截面内一点简化后得到的主矢和主矩。通常取截面的几何形心作为简化中心F4F5F6ImmF—主矢（合力）M—主矩（合力偶）zyx 91.4内力、截面法和应力（4）内力集度和应力截面上的内力反应截面的总体受力状况及内力与外力的平衡关系，但不能说明截面内某一点受力的强弱程度。因此引入内力集度和应力。Pm称为单位面积上内力的平均集度—平均应力IcΔAΔFc 101.4内力、截面法和应力σ称为点c的正应力称为点c的切应力（剪应力）应力的单位：Pa(帕)，称为帕斯卡。p称为点c的应力Icpσ 111.5变形与应变oxyΔxΔx+ΔsMNLLˊMˊˊN（1）线应变： 121.5变形与应变oxyΔxΔx+ΔsMNLLˊMˊˊN（2）切应变（剪应变）正交线段角度的改变量：γ—点M在xy平面内的切应变或角应变 131.5变形与应变应变的单位：ε和都是无量刚的 141.5变形与应变（3）原始尺寸原理δ1δ2FABC材料力学主要研究小变形问题。列平衡方程时，使用结构变形之前的形状和尺寸，以简化分析。方程中，变形的平方、乘积可以作为高阶微量处理。 151.6杆件变形的基本形式杆件变形的基本形式（基本变形）：（1）拉伸或压缩（2）剪切（3）扭转（4）弯曲 16思考问题：1.材料力学与理论力学的研究对象有什么不同？2.内力与应力有什么不同？3.什么原始尺寸原理？有什么意义？ 17第二章拉伸、压缩与剪切2.1轴向拉伸与压缩的概念和实例2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力2.3直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力2.4材料拉伸时的力学性能2.5材料压缩时的力学性能*2.6温度和时间对材料性能的影响（阅读材料）2.7失效、安全因数和强度计算2.8轴向拉伸或压缩时的变形2.9轴向拉伸或压缩的应变能2.10拉伸、压缩超静定问题2.11温度应力和装配应力2.12应力集中的概念2.13剪切和挤压的实用计算 182.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力（1）横截面上的内力—轴力FFFFN}xmmmmFm{FNm轴力的符号：拉为“+”，压为“-”。（2）轴力图（3）横截面上的应力 192.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力平面假设。σ在横截面上均匀分布的FFFFN}σ为常量x 202.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力一般情况下，横截面上正应力的表达式为：FN(x)A(x)σ(x)}x 212.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力（4）圣维南原理用与原力系静力等效力系的合力替代原力系，则只有原力系作用区域的小范围内，应力分布有显著差别，在远处（约等于截面宽度）的应力分布几乎相同。用处：不同作用方式的外力，可用其合力替代，得到相同的计算简图。FF 222.3直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力几个重要结果：FσaτaatnPa 232.4材料拉伸时的力学性能●a●●bcdeσdghεOσ—ε曲线σpσeσbσs 24五大性能指标：FΔlOF-Δl曲线FbFs2.4材料拉伸时的力学性能 252.4材料拉伸时的力学性能（2）其它塑性材料拉伸时的力学性能规定非比例伸长应力：塑性变形为某一规定值时的应力。σεO0.2%σ0.2YL20Cr条件屈服应力 262.4材料拉伸时的力学性能（3）铸铁拉伸时的力学性能特点：在较小拉力下就会破坏，无屈服、无径缩，断前变形小，延伸率小，—脆性材料的典型特征。σ与ε为非线性关系（非线性材料）。割线弹性模量—初始部分割线的斜率。σεOa●σb● 272.5材料压缩时的力学性能（1）低碳钢压缩时的力学性能特点：E和σs在与拉伸时相同；屈服平台不如拉伸时明显；强度极限σb为无穷大。εOσsσFF 282.5材料压缩时的力学性能（2）铸铁压缩时的力学性能特点：在较小拉力下就会破坏，无屈服、无径缩，断前变形小，延伸率小，—脆性材料的典型特征。σ与ε为非线性关系。σεOσb 292.7失效、安全因数和强度计算失效—构件不能正常工作失效形式：强度失效—破坏：屈服，断裂，（压扁，压溃）；刚度失效—变形过大（刚度不足）；疲劳失效—构件在交变应力作用下长期工作导致破坏，也是一种强度失效；稳定性不足而失效。 302.7失效、安全因数和强度计算塑性材料的失效：应力达到σs时屈服脆性材料的失效：应力达到σb时断裂Oσbσsσεσs和σb都是失效时的极限应力构件承受的实际应力σ—工作应力—应低于极限应力。 312.7失效、安全因数和强度计算在工程设计中，以大于1的因数除以极限应力，所得到的结果称为许用应力，用[σ]表示。对脆性材料：对塑性材料：大于1的因数nb和ns称为安全因数强度条件：强度条件又称为强度设计准则，常写成： 32强度条件公式的用途：强度校核截面设计确定许可载荷2.7失效、安全因数和强度计算 332.8轴向拉伸或压缩时的变形（1）等直杆单轴拉伸或压缩的变形计算轴向变形计算：l1FFb1blA虎克定律抗拉(压)刚度胡克定律的两种形式 342.8轴向拉伸或压缩时的变形FFb1b横向变形计算：μ称为横向变形因数或泊松比，为一无量纲的量。 352.8轴向拉伸或压缩时的变形（2）变截面、变轴力拉（压）杆的变形计算FN(x)A(x)dxdxxld(x)母线缓慢变化d2d1微分段的变形dx：整个杆的变形： 362.9轴向拉伸或压缩的应变能ΔlFl固体因受力变形而贮存的能量—应变能。FΔlOΔlΔl1FdFF1d(Δl)微分面积abc 372.9轴向拉伸或压缩的应变能在线弹性范围内，W等于斜直线下的面积：ΔlFlFΔlOΔlFσp●在线弹性范围内： 382.9轴向拉伸或压缩的应变能等直杆的应变能：等直杆单位体积贮存的应变能—应变能密度vε：ΔlFl均匀变形可用于位移计算 392.9轴向拉伸或压缩的应变能单元体的应变能密度:在在线弹性范围内：Oσp●εσσσσεdεdσdxdzdy●(ε1,σ1) 40思考题（讨论）：1.变形公式只适用于线弹性范围。对于正应力公式有没有这个限制？为什么？ 412.10拉伸、压缩超静定问题静定和超静定的概念超静定问题的求解方法：综合运用平衡、几何、物理三方面的关系。2.11温度应力和装配应力变形协调的概念 42例（习题2.39）F1000250250 432.12应力集中的概念杆件几何形状急剧变化处局部应力显著增大的现象，称为应力集中。应力集中的程度用理论应力集中因数K描述。K的定义为：K>1 442.13剪切和挤压的实用计算一、剪切的实用计算特点：作用于截面两侧的力大小相等，方向相反，作用线很靠近，变形是截面左右两部分沿剪切面发生相对错动。nnnnFFFFSnn刀刃刀刃剪力平均应力 452.13剪切和挤压的实用计算挤压强度条件：[σbs]—材料的许用挤压应力对于平面接触，式中的Abs就是接触面的面积。Abs键传动F 462.13剪切和挤压的实用计算对于圆柱面接触，最大应力在圆柱面的中点。挤压强度条件：实用计算中，取受压柱面在过直径的纵向平面上的投影面面积为计算面积Abs。FFABC圆柱面ABC的投影面ACσmaxAbs 47强度设计的合理性：同一构件的剪切强度和挤压强度匹配——均匀负担2.13剪切和挤压的实用计算 48第三章扭转3.1扭转的概念和实例3.2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图3.3纯剪切3.4圆轴扭转时的应力3.5圆轴扭转时的变形3.6圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形3.7非圆截面杆扭转的概念*3.8薄壁杆件的自由扭转（阅读材料） 493.1扭转的概念和实例3.2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图1.根据轴传递的功率和轴的转速，计算作用于轴的外力偶。 503.2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图2.分析内力MeMexIIInnMexIIInnTMexnnT截面法T=MeT称为扭矩扭矩的符号规定：力偶矢量T与截面外法线方向一致为正，反之为负。3.扭矩图—表示扭矩T沿轴线变化的图形 513.3纯剪切薄壁圆筒扭转时的切应力横截面和包含轴线的纵向截面上都没有正应力。横截面上只有切应力MeTxγφppqqrMexppqqMeδ＜D/20τ（环流） 523.3纯剪切τ=τ’(3.2)τdxdyτδτ"τ"xyz切应力互等定理（切应力双生定理）：在相互垂直的两个平面上，切应力总是总是成对存在，且数值相等；二者都垂直于平面的交线，方向共同指向或共同背离交线。（4）纯剪切—单元上、下、左、右4个侧面上只有切应力 533.3纯剪切剪切虎克定律τdxdyττ"τ"γ纯剪切试验薄壁圆筒扭转试验曲线MexφMeMeφOγ单元体rl扭转角·τp切应变 543.3纯剪切剪切虎克定律G—切变模量，单位：GPa剪切应力—应变曲线τγO·τpτdxdyττ"τ"γ 553.3纯剪切剪切应变能dxdyτγQ=τdydzdzD=γdxτγO·τpdγτdτγ原理：剪切应变能密度：在比例极限内 563.4圆轴扭转时的应力平面假设：圆周变形前的横截面，变形后仍保持为平面，形状和大小不变，半径仍为直线；相邻两截面的间距不变。MexγφppqqMedxdxγdφρROppqqρdφOdx两点结论：（2）对于给定的截面，dφ/dx为常量，所以（1）γ发生在垂直于半径的平面内。 573.4圆轴扭转时的应力三个结果：3.按切应力互等定理，纵向截面上有切应力作用。MexγφppqqMedxx 583.4圆轴扭转时的应力Me抗扭截面系数公式的适用范围：圆截面轴；2.τmax低于比例极限。 593.4圆轴扭转时的应力极惯性矩和抗扭截面系数的计算：实心圆轴：空心圆轴：(3.14) 603.4圆轴扭转时的应力强度条件等截面圆轴：先求出Tmax，然后计算τmax，Me1xIIIMe2Me3强度条件为 613.4圆轴扭转时的应力变截面圆轴：先分段求出T和τ，然后经过比较找出τmax。强度条件为x100N·m300N·m200N·m 623.5圆轴扭转时的变形扭转变形的基本量度：扭转角MexγφppqqMedxldxdφROppqq对长度为l的等直圆轴GIp称为圆轴的扭转刚度 633.5圆轴扭转时的变形对台阶轴（T和Ip均为变量）,两端截面的相对转角为为了便于比较两根轴的扭转变形程度，需要消除长度对扭转角的影响，用表示变形程度。单位长度的扭转角刚度设计（控制、分析）代数和xMe1Me2Me301234 643.5圆轴扭转时的变形单位长度的扭转角。如果为常量 653.5圆轴扭转时的变形扭转刚度条件： 663.5圆轴扭转时的变形在扭转设计中，刚度和强度应同时考虑。例3.4设计车床主轴的直径。给定：=40MPa，=1.5（º）/m。刚度：强度：T/N·m39.3155xx控制因素取D=30 673.6圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形忽略FsFFsTD/2dAτ1τ2dAτ2max 68若计及曲率和τ1的作用，有修正公式：c约小，k越大。3.6圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 693.6圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形弹簧丝的强度条件：弹簧丝的的最大应力一般用修正公式计算估算例3.6—弹簧强度校核 703.6圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形R=D/2是弹簧的平均半径弹簧刚度弹簧的变形 713.7非圆截面杆扭转的概念矩形截面杆扭转时横截面上的切应力：bhτmaxτ1弹性力学解T 723.7非圆截面杆扭转的概念矩形截面杆扭转时两端面的相对转角：h/b1.01.22.54.06.010.0∞α0.2080.2190.2580.2820.2990.3130.333β0.1410.1660.2490.2810.2990.3130.333ν1.0000.9300.7670.7450.7430.7430.743表3.2矩形截面杆扭转时的系数α，β，ν 733.7非圆截面杆扭转的概念当h/b>10时，α=β≈1/3，公式（3.26）和(3.28)简化成例3.7—柴油机曲柄最大应力计算。hδτmaxτ1 74第四章弯曲内力4.1弯曲的概念和实例4.2受弯杆件的简化4.3剪力和弯矩4.4剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图4.5载荷集度、剪力和弯矩间的关系4.6平面曲杆的弯曲内力 754.1弯曲的概念和实例4.2受弯杆件的简化一.支座的几种基本形式（1）铰支座固定铰支座可动铰支座xy（2）固定端支座x 764.2受弯杆件的简化二.载荷的简化(1)集中载荷(2)分布载荷单位长度内的载荷—载荷集度：均布载荷qlF非均布载荷q（x）dxdF（x）F1F2F1F2静定梁的基本形式 774.3剪力和弯矩xxF1F2F3ymmFRAFRByFRAF1FSMx剪力弯矩a 784.3剪力和弯矩剪力和弯矩的符号规则（与变形方向相联系）：FSM（+）（−）FS（−）M（+）向上凹向上凸 794.3剪力和弯矩剪力和弯矩的符号规律（与外力方向相联系）：FS（+）截面左侧向上（下）的外力引起的剪力符号为正（负）；截面右侧向下（上）的外力引起的剪力符号为正（负）。FS（−）F1F2FS1FS2FS=−FS1+FS2剪力: 804.3剪力和弯矩不论截面左侧和右侧，向上的外力引起的弯矩符号为正，向下的外力引起的弯矩符号为负。F1F2F1F2F1F2M1M2M=−M1+M2n1n2n1n2F1F1n1n2n1n2F1F2F2n1n2弯曲： 814.4剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图剪力方程和弯矩方程FS=F(x)，M=M(x)剪力图和弯矩图 824.5载荷集度、剪力和弯矩间的关系F1q(x)F2d(x)xyx式（4.1）,（4.2）,（4.3）给出了载荷集度、剪力和弯矩之间的关系。 834.5载荷集度、剪力和弯矩间的关系1.若在梁的某一段内q(x)=0，则FS(x)=常数，M(x)为一次函数。因此，剪力图为水平线，弯矩图为斜直线。由式（4.1）,（4.2）,（4.3）得出的重要结论（推论）：2.若在梁的某一段内q(x)=常数，则FS(x)为一次函数，M(x)为二次函数。因此，剪力图为斜直线，弯矩图为抛物线。若在梁的某一段内q(x)向下，即q(x)为负值，则该段内的弯矩图向上凸，反之则向下凸。q(x)<0q(x)>0 844.5载荷集度、剪力和弯矩间的关系3.若在梁的某一截面上，FS(x)=0，则M(x)在该截面上取极值。集中力作用处，剪力有突变，弯矩的斜率发生突变，因此有可能出现极值。集中力偶作用处，弯矩有突变，因此有可能出现极值。 854.5载荷集度、剪力和弯矩间的关系4.积分关系相邻两截面的剪力之差，等于两截面间载荷图的面积；相邻两截面的弯矩之差，等于两截面之间剪力图的面积。用处：内力图的绘制、校核。 864.6平面曲杆的弯曲内力刚架(折杆)弯矩方程：AC段：M(x1)=Fx1CB段：M(x2)=Fa-Fx2=F(a-x2)反弯点坐标：令M(x2)=F(a-x2)=0，得到x2=a。刚节点a1.5ax1x2ACB反弯点·EEACB反弯点FFFaFa0.5Faa弯矩图与挠曲变形的关系 874.6平面曲杆的弯曲内力曲杆m2FFφm2FFφFNFsM反弯点xy符号规则：P127~128建议：将曲杆看作直杆，并使用直杆符号规则。 88第五章弯曲应力5.1纯弯曲5.2纯弯曲时的正应力5.3横力弯曲时的正应力5.4弯曲切应力*5.5关于弯曲理论的基本假设（阅读材料）5.6提高弯曲强度的措施 895.1纯弯曲(1)纯弯曲与横力弯曲(2)平面假设(3)中性轴和中性层(4)关于纯弯曲的另一个假设：纵向纤维之间无正应力。 905.2纯弯曲时的正应力zyσdAyOzxMeMEIz—抗弯刚度梁的弯曲曲率计算公式I.σ的符号II.公式（5.2）的适用范围：有纵向对称面，且载荷作用在纵向对称面内。 915.3横力弯曲时的正应力横力弯曲的特点：（1）关于纯弯曲的两个假设不成立，截面上的内力有M和Fs，应力有σ和τ。（2）弯矩M随截面位置变化。xFaxMFa弯曲正应力用纯弯曲的公式 925.3横力弯曲时的正应力引用记号式（5.3），可以写成抗弯截面系数 935.3横力弯曲时的正应力强度条件：注意材料的抗拉强度和抗压强度是否相同 945.3横力弯曲时的正应力DFRAFRBCABM/kN·m2.5x4例5.3T型截面铸铁梁的强度校核。注意脆性材料的抗拉强度和抗压强度数值不等，应分别校核。F2F1试画出梁的挠曲线[σt]=30MPa[σc]=160MPa27.2σt=28.8σc=46.2危险点反弯点CB 955.4弯曲切应力一、矩形截面梁关于切应力分布的两点假设：I.τ平行于FS。II.τ沿宽度均匀分布。dxFxmm1nn1hbq(x)yyOzxFSτqbhmm1nn1rpdx 965.4弯曲切应力yyOzxFSqbhτp坐标y隐含在静矩中 975.4弯曲切应力yyOzxFSτqbhmm1nn1rpdxxτ"yyOzxσdAτqbmm1nn1rpdxτ"y1FN2FN1dF"S微分条应力分布规律 98静矩的计算：bh/2h/2oyy1dy1zyτmax切应力τ沿截面高度按抛物线规律变化最大切应力τmax出现在中性轴上5.4弯曲切应力 99最大切应力τmax的计算：重要结果bhoyzτmaxFS5.4弯曲切应力 100h0yzhb0byτmaxτminA2A1y2y1切应力沿腹板高度按抛物线规律变化5.4弯曲切应力腹板上的切应力近似均匀分布二、工字形截面梁腹板承担了工字形截面上的决大部分剪力。腹板上切应力计算公式近似计算公式 101h0zhb0by翼缘截面上的切应力通常忽略不计5.4弯曲切应力FS翼缘截面上的正应力翼缘负担了决大部分的弯矩。 1025.4弯曲切应力弯曲切应力的强度校核一般在剪力最大的截面的中性轴上出现最大切应力τmax。DyFRAFRBqMeACBxFS/kN8.53.5x6bhoyzτmaxFS 1035.6提高弯曲强度的措施根据：提高弯曲强度，应从两方面着手：I.合理安排梁的受力。II.合理设计梁的截面。 1045.6提高弯曲强度的措施材料性质对截面设计的影响：抗拉强度与抗压强度相等的材料，应采用对称截面（指对称于中性轴）。抗拉强度与抗压强度不相等的材料，中性轴应偏于较弱的一侧。例如铸铁，抗拉强度小于抗压强度：σtb<σcb[σt]<[σc]y1y2zzσcmaxσtmaxT形铸铁梁截面设计 1055.6提高弯曲强度的措施三、等强度梁等强度梁定义：I.变截面梁各横截面上的最大正应力σmax都相等；II.各横截面上的最大正应力σmax都等于许用应力[σ]。 1065.6提高弯曲强度的措施等强度梁条件式：FxM(x)W(x)式（5.15）可用于等强度梁的截面设计。 107第六章弯曲变形6.1工程中的弯曲变形问题6.2挠曲线微分方程6.3用积分法求弯曲变形6.4用叠加法求弯曲变形6.5简单超静定梁6.6提高弯曲刚度的一些措施 1086.2挠曲线微分方程弯曲变形的基本描述对称弯曲符号规定：挠度w向上为正。转角θ逆时针为正。挠度w截面转角θ}dxyxFxθdθwθdθdsρ 1096.2挠曲线微分方程精确方程 1106.2挠曲线微分方程yxFxwθ 111式（6.5）两边同乘以dx，然后积分：挠曲线微分方程和转角微分方程的通解。6.3用积用分法求弯曲变形转角方程转角方程两边同乘以dx，然后再积分一次：挠曲线方程积分常数式（6.5）两边同乘以dx，然后积分：6.3用积用分法求弯曲变形转角方程转角方程两边同乘以dx，然后再积分一次：挠曲线方程积分常数边界条件 112刚度条件6.3积用分法求弯曲变形FxAB许可挠度许可转角（6.6） 113“查表+叠加”的方法6.4用叠加法求弯曲变形CFRAFRBqMeABx2m2m4mDF=2kN 114超静定梁：仅由平衡方程不能求解支座反力的梁。6.5简单超静定梁BAlFRByFaxyCFRAyFRAxMA卡盘一次超静定多余约束 1156.6提高弯曲刚度的一些措施与弯曲刚度有关的因素BAlF措施措施I：改善结构形式，降低弯矩。措施II：设计合理的截面形状和尺寸。 1166.6提高弯曲刚度的一些措施刚度与强度的关系一般地说，加大惯性矩，可以使刚度与强度同时得到提高。在强度问题中，主要是提高弯矩较大的局部区域的抗弯截面系数；而弯曲变形与全长范围内各部分的刚度都有关系，因此需要考虑提高杆件全长的刚度。材料性质对提高刚度的作用选用弹性模量E较高的材料也能提高梁的刚度。但是，对于各种钢材，弹性模量的数值相差不大，因而与一般钢材相比，选用高强度钢材并不能提高梁的刚度。 117第七章应力和应变分析强度理论7.1应力状态概述7.2二向和三向应力状态的实例7.3二向应力状态分析—解析法7.4二向应力状态分析—图解法7.5三向应力状态*7.6位移与应变分量*7.7平面应变状态分析7.8广义胡克定律7.9复杂应力状态的应变能密度7.10强度理论概述7.11四种常用强度理论 118（1）应力是坐标和方向的函数7.1应力状态概述（2）单元体（3）应力状态与应力分析的概念研究通过一点的不同截面上的应力变化情况，称为应力分析。应力状态是过一点不同方向面上应力的总称。（4）主平面与主应力 1197.1应力状态概述（5）主应力的符号（6）单向应力状态与复杂应力状态主应力按代数值的大小排序单向应力状态二向（平面）应力状态三向应力状态： 1207.2二向和三向应力状态实例二向应力状态lDδmnmnpF受内压作用的薄壁筒δ